※ 引述《lau245021 (月詩)》之銘言：
: 因為小弟最近在準備平時考
: 算到卡住 在學校又找不到老師 這幾天又都是選修課 遇不到高手
: 所以= = 拜託了 下面7題
: 以之一解 用降階法 求下列ODE
: 1.x^2y"+xy'+(X^2-1/4)y=0 y_1(x)=cosx/√x
: 2.(1-x^2)y"-2xy'+2y=0 y_1(x)=x
: 這題我算到最後變成
: ∫-4x^2+2/x(x^2-1)dx=dv/v 不知對不對 可是我還是兜不出答案= ="
: (y=c_1x+c_2(-1+(x/2)ln ∣x+1/x-1∣))
: 用"參數變換法"求下列ODE
: 1.x^2y"+xy'+y=sec(ln x)
: 2.3y"-6y'+6y=e^(x)secx
: 3.(D^2+1)y=secθtanθ
(D^2+1)y=secθtanθ
對應的齊次方程式
(D^2+1)y=0
特徵方程式
m^2+1=0
m=±i
y_c(θ)=c_1cosθ+c_2sinθ
設y_p(θ)=A(θ)cosθ+B(θ)sinθ
│cosθ sinθ│
w(θ)=│ │= 1
│-sinθ cosθ│
secθtanθsinθ 1 sinθ sinθ
A(θ)=-∫──────── dθ=-∫──* ───* ─── dθ
1 cosθ cosθ 1
-(sinθ)^2
=∫──────dθ
(cosθ)^2
(cosθ)^2-1
=∫──────dθ
(cosθ)^2
(cosθ)^2 1
=∫[───── - ─────]dθ
(cosθ)^2 (cosθ)^2
=∫[ 1- (secθ)^2]dθ
=θ-tanθ
secθtanθcosθ 1 sinθ cosθ
B(θ)= ∫──────── dθ= ∫──* ───* ─── dθ
1 cosθ cosθ 1
= ∫tanθ dθ
= ln│secθ│
y_p(θ)=(θ-tanθ)cosθ+(ln│secθ│)*sinθ
通解y(θ)=y_c(θ)+y_p(θ)=c_1cosθ+c_2sinθ
+(θ-tanθ)cosθ+(ln│secθ│)*sinθ
: 4.y"-3y'+2y=-(e^(3x)/e^(x)+1)
y"-3y'+2y=-(e^(3x)/e^(x)+1)
對應的齊次方程式
y"-3y'+2y=0
特徵方程式
m^2-3m+2=0
(m-1)(m-2)=0
m=1,2
y_c(x)=c_1e^(x)+c_2e^(2x)
設y_p(x)=A(x)e^(x)+B(x)e^(2x)
│e^x e^(2x)│
w(x) =│ │= e^(3x)
│e^x 2e^(2x)│
[-(e^(3x)/e^(x)+1)]*e^(2x) e^(2x) -e^(x)
A(x)=-∫───────────── dx = ∫──── dx =∫[e^(x)+────]dx
e^(3x) e^(x)+1 e^(x)+1
-[e^(x)+1]'
=∫[e^(x)+──────]dx
e^(x)+1
= e^(x)-ln│e^(x)+1│
[-(e^(3x)/e^(x)+1)]*e^(x) -e^(x) -[e^(x)+1]'
B(x)= ∫───────────── dx = ∫──── dx =∫ ─────dx
e^(3x) e^(x)+1 e^(x)+1
=-ln│e^(x)+1│
y_p(x)=[e^(x)-ln│e^(x)+1│]e^(x)+[-ln│e^(x)+1│]e^(2x)
通解y(x)=y_c(x)+y_p(x)=c_1e^(x)+c_2e^(2x)
+[e^(x)-ln│e^(x)+1│]e^(x)+[-ln│e^(x)+1│]e^(2x)
: 5.y"+y=secx
: 小弟數學真的不是很好= = 所以 算式拜託 詳細一點
: 感謝大家
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