作者GSXSP (Gloria)
看板Math
標題Re: [分析] 內積與距離, 畢式定理
時間Fri Nov 20 20:56:33 2009
: ◆ From: 75.62.141.216
: → GSXSP :我知道不一定成立 我的問題是有沒有可能成立 11/20 14:32
: → GSXSP :不知道是不是問得有點模糊@@ 11/20 14:34
:
: 2
: Claim. If ∥‧∥ is a norm on Ｒ such that
: 2 2 2
: ∥u∥ + ∥v∥ = ∥u + v∥
: 2
: whenever u, v in Ｒ are perpendicular (i.e. orthogonal
: in the Euclidean sense), then
: 2 2
: ∥(x, y)∥ = √(ax + by )
:
: where
: 2 2
: a = ∥(1, 0)∥ and b = ∥(0, 1)∥ .
:
: If a = b, then ∥‧∥ is a constant multiple of the Euclidean norm.
:
: 2
: Proof. Let (x, y) be in Ｒ . Then (x, 0) and (0, y) are perpendicular,
: so
: 2 2
: ∥(x, y)∥ = ∥(x, 0) + (0, y)∥
: 2 2
: = ∥(x, 0)∥ + ∥(0, y)∥
: 2 2 2 2
: = x ∥(1, 0)∥ + y ∥(0, 1)∥
: 2 2
: = ax + by. □
所以這樣說了，在R^2 上
內積用 x1x2 + y1y2
符合畢式定理的norm都是等價的
也就是R^2 內積用x1x2 + y1y2
沒有我想要的 " 距離定的跟內積沒什麼關係，畢式定理還是成立 "
不曉得我有沒有誤會
但一來這只針對 內積用x1x2 + y1y2 且 只針對R^2
general case 不曉得是否有
: ※ 編輯: cgkm 來自: 75.62.141.216 (11/20 14:52)
: 推 math1209 :of course, 有可能成立. 但這到底成不成立都不重要. 11/20 14:48
: → math1209 :比較有意義反而是你之後的逆敘述... 11/20 14:49
: → math1209 :上兩行回應 GSXSP. 11/20 14:49
嗯，我是想說有 "成立" 的例子的話
就代表 畢氏定理成立，內積與距離不一定要有關係
: 推 math1209 :我關心的是:無限維度...=.= 11/20 14:59
: → math1209 :我傾向於對於 GSXSP 之後的那個逆敘述, 那兩個 11/20 15:01
: → math1209 :norms 不一定等價. (有限維度在此就變成 non-sense) 11/20 15:01
好像用等價來state會好很多， 之前的敘述爛爛的
所以是..
" 定義好內積，使畢氏定理成立的norm都等價 "
(可是這樣感覺好像太強，不太會對XD)
math大是覺得..
有限維 => false
無限維 => true ??
怎麼怪怪相反的感覺@@ 不知道我有沒有誤會什麼
另外為什麼這樣是變成non-sense ?
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.113.211.193
→ Xixan :我是覺得你要求你的距離有滿足畢氏定理 11/21 00:07
→ Xixan :而畢氏定理中的垂直是由內積定義出來的 11/21 00:07
→ Xixan :這樣你的"距離"還會和"內積"沒有關係嗎? 11/21 00:08
→ Xixan :你的條件本身就給了它們一個關係式 11/21 00:08
→ GSXSP :嗯 所以換成等價 這樣問會比較清楚 11/21 08:53
→ GSXSP :或者說.. 是什麼關係 11/21 08:54