Re: [分析]交大考古題

[math1209 (.......................)]

※ 引述《aquaisaqua (aqua)》之銘言：
: http://www2.lib.nctu.edu.tw/n_exam/exam98/am/am4031.pdf
: 第三大題
: 確認這兩個函數是否為均勻連續
: 感謝板上的高手  ^^~

(b) |g'(x)|≦1, where x in [0,∞). Apply MVT, then g(x) is uniformly
    continuous on [0,∞).

(a) Assume it was, given ε＝1, there exists a δ＞0 such that as |x－y|＜2δ,
    we have |f(x) － f(y)|＜1. Choose y ＝ x ＋ δ, and... .Leave to you.

NOTE.

(1) (b) 此題手法是得學起來的。(導函數有界，則函數本身必均勻連續。)
(2) (a) 出的不好，分段定義在此處毫無意義可言。或許我們會問: 為什麼我們要猜 (a)
    是非均勻連續？這是因為有個引理來幫我們。
    (這引理也說明了均勻連續的函數:|R→|R 的長相須有某種限制…)

    引理:命 f:|R→|R 之均勻連續函數，則必存在兩正數 a, b 使

                         |f(x)| ≦ a|x|＋b   for all x.

    [此引理的作法:把定義寫一寫就出來了…]

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◆ From: 220.133.4.14
→ math1209    :這個引理的定義域跟(a)看起來好像有點那麼不同？
→ math1209    :其實沒有不同。這也留給你想 (此時題目分段定義就有)
→ math1209    :意義了...
推 aquaisaqua  :感恩^^
→ aquaisaqua  :|x-y|<2δ,為什麼不用|x-y|<δ ??
→ math1209    :也行, 只是 y 要取 x + (delta)/2. 否則無法滿足
→ math1209    :|x-y|<δ.
→ aquaisaqua  :leave to me 的部分就是當初配不出來大於等於δ的部
→ aquaisaqua  :份XD~
→ aquaisaqua  :我再去試一下,把大於等於ε配出來...