※ 引述《kane950544 (比格˙潘尼斯)》之銘言：
: 標題: [分析] 高微一題
: 時間: Fri Aug 21 16:20:27 2009
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: Yn=Xn-1+Xn
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: 試證明
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: 如果{Yn}收斂，則{Xn}收斂
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: ◆ From: 122.126.71.159
: 推 zombiea :try X_n=(-1)^n 08/21 16:28
: → kane950544 :Yn = Xn-1 + 2*Xn 打錯了 08/22 01:16
先處理 Y_n → 0 的情況
對所有 ε > 0 存在 N 使得當 n > N 時 | Y_n | < 0.9ε
則 | X_n | = | 0.5 * ( Y_n - X_(n-1) ) | ≦ 0.5*| Y_n | + 0.5*| X_(n-1) |
≦ 0.5*| Y_n | + 0.25*| Y_(n-1) | + 0.25*| X_(n-2) |
≦ ... ≦ 0.5*|Y_n| + 0.25*|Y_(n-1)| + ... + (0.5)^(n-N) (|Y_(N+1)| + |X_N|)
< 0.9ε [ 0.5 + 0.25 + ... + (0.5)^(n-N) ] + (0.5)^(n-N) | X_N |
< 0.9ε + (0.5)^(n-N) | X_N |
而因為 (0.5)^(n-N) → 0 所以當 n 夠大時 (0.5)^(n-N) | X_N | < 0.1ε
故當 n 夠大時 | X_n | < 0.9ε + 0.1ε = ε
所以 X_n → 0
對一般的情況 Y_n → a
Y_n = X_(n-1) + 2 X_n
(Y_n - a) = (X_(n-1) - a/3) + 2 (X_n - a/3)
則由 (Y_n - a) → 0 得 (X_n - a/3) → 0 即 X_n → a/3
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◆ From: 61.62.136.247
※ 編輯: tandem 來自: 61.62.136.247 (08/24 23:35)