→ ert0700:多謝...這題我做考古題時已經想很久了... 03/06 01:12
推 smartlwj:謝謝你 我大概懂了 謝謝 03/06 01:14
※ 引述《smartlwj (實變我好愛你)》之銘言：
: 1. Let f: [0,1] → R be a continuous function.
: 1 n
: If ∫ x f(x)dx = 0 , n=0,1,2,......,
: 0
: prove that f(x) = 0, for each x ε [0,1]
: 2. Let f: [-1,1] → R be Lebesque integrable
: 1 n
: such that ∫ x f(x)dx = 0, n=0,1,2,......
: -1
: Show that f = 0 a.e. on [-1,1]
: 請問這兩題要怎麼做呀
: 想好久了，都沒有頭緒，請教教我該怎麼下手 謝謝
(1) 由於 f(x) 是 [0,1] 上之連續函數，根據 Weierstrass 逼近定理可知：
存在一個序列多項式 P_n(x) 使得 P_n → f 在 [0,1] 上是均勻收斂。
藉由題目假設 ∫_[0,1] x^n f(x) dx ＝ 0, 顯然可知：
∫_[0,1] P_n(x) f(x) dx ＝ 0
對上式取極限，且根據均勻收斂與積分的性質，我們有：
1
0 ＝ lim ∫ P_n(x) f(x) dx
n→∞ 0
1
＝ ∫ f(x)^2 dx, by 均勻收斂之性質。
0
於是 ∫[0,1] f(x)^2 dx （＊）, 告訴我們 f(x) ≡ 0 on [0,1].
NOTE. (a) 區間是否為 [0,1] 並不重要，重要的是定義域必須要是 compact.
(b) （＊）可導致 f(x) ≡ 0 on [0,1], 通常有兩種：
(i) 採反證，得藉助 ε-δ的語言。
(ii) 採直接證明，用到了(一維度）之微積分基本定理。
(c) 這個習題是一個常識，他隱藏著牛頓的思維。(分析學為什麼稱為分析？)
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