Re: [分析] 實變三題

[math1209 (.......................)]

※ 引述《icebergvodka (肥嘟嘟左衛門)》之銘言：
: 2.
:   Consider the transformation Tx=Ax+k in R^n, where A is a nonsingular
: n*n matrix and x, k are column n-vectors. T maps sets E onto sets T(E).
: Assume that 入[T(I(a,b))] = |detA|入(I(a,b)). Prove that satisfies the
: properties (a)-(c).
: (a) For any set E, u(T(E))=|detA|u(E), u is outer measure.
: (b) E is lebesgue-measurable if and only if T(E) is lebesgue-measurable.
: (c) If E is lebesgue-measurable, then u(T(E))=|detA|u(E), u is lebesgue
: measure.

(1), (3) cgkm 給了, (2) 是我以前寫的. 有問題的話再討論看看...

[(2) 中的 (a)-(c) 可在以下找到...]

(定理) 命 E 為 |R^n 上之子集，若 T: |R^n → |R^n 為線性映射，則

          m^* (T(E)) ＝ δ． m^* (E), 其中 δ ＝ |det T|. (☆)


Proof.

(1) 當 δ＝0, 則 T 表示將維度降低，故等號成立。

(2) 當 δ≠0, 則表示 T 為 non-singular 矩陣。

為此，我們分幾小題討論之。

(a) 先證明當 E 為一閉正方塊 I_0，其體積為 1 時 (☆) 成立。

(b) 更進一步可以證明 E 為二進方塊 (dyadic cube) 也使 (☆) 成立。

(c) 證明 E 為開集使 (☆) 成立。

(d) 證明對於一般的 E 也使 (☆) 成立。

-----------------------------------------------------------------------------
(a) 注意到任何一個可逆矩陣 T 皆可表為三型基本矩陣之乘積。故僅需證明 T 為下列
    三型之一。

(A) (對) 指兩座標間的對調，例如：

         (ξ_1,ξ_2,...,ξ_n) |→ (ξ_2,ξ_1,...,ξ_n)

         則 |det T| ＝ 1, 且 T(I_0) ＝ I_0. 故 (☆) 成立。

(B) (乘) 指某座標乘以非 0 之常數，例如:

         (ξ_1,ξ_2,...,ξ_n) |→ (cξ_1,ξ_2,...,ξ_n)

         則 |det T| ＝ |c|, 且

         T(I_0) ＝ {x＝(ξ_1,...,ξ_n): 0≦ξ_i≦1, i≠1, 0≦ξ_1≦c.}

         故 (☆) 成立。

(C) (加) 指兩座標間進行加法，例如：

         (ξ_1,ξ_2,...,ξ_n) |→ (ξ_1＋ξ_2, ξ_2,...,ξ_n)

         則 |det T| ＝ 1, 且

         T(I_0)＝{x＝(ξ_1,ξ_2,...,ξ_n):0≦ξ_i≦1,i≠1,0≦ξ_1－ξ_2≦1}

         命 Ａ ＝{x＝(ξ_1,ξ_2,...,ξ_n) in T(I_0)：ξ_1≦1}

         且 Ｂ ＝T(I_0)\Ａ.

         則   Ａ ＝ {x＝(ξ_1,ξ_2,...,ξ_n) in I_0: ξ_2≦ξ_1}

         Ｂ－e_1 ＝ {x＝(ξ_1,ξ_2,...,ξ_n) in I_0: ξ_1≦ξ_2}

         故 (☆) 成立。

NOTE. 在 (C) 事實上，就是將方塊作一推擠：█ → ◢ ◤ (◢◤).
-----------------------------------------------------------------------------
(b) 首先，對於二進方塊 I, 我們有：

    m^* ( T( int (I) ) ) ≦ m^* ( T (I) )
                         ≦ m^* ( T (cl(I)) )
                         ≦ m^* ( T (int I ∪ bd I)
                         ＝ m^* ( T (int I) ∪ T (bd I) )
                         ＝ m^* ( T (int I) ), 因 T (bd I) 測度為 0,

故 m^* ( T( int (I) ) ) ＝ m^* ( T (I) ) ＝ m^* ( T (cl(I)) ).

且 m^* (I) ＝ m^* (cl I) ＝ m^* (int I).

故僅需考慮閉二進方塊。

每一個閉二進方塊 I 都可以利用平移成為此閉二進方塊

   J：＝ {x＝(ξ_1,...,ξ_n)：0≦ξ_i≦2^(-k), 1≦i≦n}.

即 I ＋ {y} ＝ J.

又 m^* ( T(J) ) ＝ m^* (T (I＋{y})) ＝ m^* ( T(I) ), 故僅需考慮特殊的
閉二進方塊 J. 已知 (a) 成立，寫

      I_0 ＝ ∪ (J ＋ {y_j}), j＝1,...,2^(nk), nonoverlapping.

故 T(I_0) ＝ T( ∪ (J ＋ {y_j}) )

          ＝ ∪ T( J ＋ {y_j} ), 依然是 nonoverlapping, 因: T 可逆。

故 m^* ( T(I_0) ) ＝ δ
                  ＝ m^* ( ∪ T( J ＋ {y_j} ) )
                  ＝ Σ m^* ( T( J ＋ {y_j} ) )
                  ＝ Σ m^* ( T( J ) )
                  ＝ 2^(nk) ． m^* ( T( J ) )

故  m^* ( T( J ) ) ＝ δ．2^(-nk) ＝ δ．m^* (J).
-----------------------------------------------------------------------------
(c) 已知 (b) 成立，命 G 為開集，則 G ＝ ∪ I_k, 其中 I_k 為二進方塊 (disjoint)

由 m^* (T(G)) ＝ m^* (T (∪ I_k))

              ＝ m^* (∪ T(I_k) ), 裡頭依然 disjoint, 因 T: non-singular.

              ＝ Σ m^* (T(I_k))

              ＝ Σ δ m^* (I_k)

              ＝ δ Σ m^* (I_k)

              ＝ δ m^* (∪ I_k), 因為 I_k 為 disjoint. （＊）

              ＝ δ m^(G).

NOTE. 在 (＊), 只要是 nonoverlapping interval 都會對。
-----------------------------------------------------------------------------
(d) 已知 (c) 成立，考慮：給定一集合 E, 必存在一開集合 G_k 使

                          (i)  E ≦ G_k
                          (ii) m^* (G_k) ≦ m^* (E) ＋ 1/k.

則 m^* (T(E)) ≦ m^* (T(G_k)) ＝ δ m^* (G_k) ≦ δ {m^* (E) ＋ 1/k}.
故

      m^* (T(E)) ≦ δ m^* (E). (i)

考慮其可逆矩陣 T^(-1), 我們則有：

    　m^* ( T^(-1) (T(E)) ) ≦ δ^(-1) m^* (T(E))

＝＞  m^* (E)  ≦ δ^(-1) m^* (T(E))

＝＞  m^* (T(E)) ≧ δ m^* (E). (ii)

由 (i) 與 (ii) 可知，我們證完！


--
Good taste, bad taste are fine, but you can't have no taste.

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 220.133.4.14
→ math1209    :補一句話：Lebesgue outer measure is invariant
→ math1209    :under translation.
推 icebergvodka:感謝大大分享~但是在(b)的證明有點怪怪的@@
→ icebergvodka:我的意思是..m^*(|c|*E)會等於|c|*m^*(E)嗎??
→ math1209    :我不懂你的意思...
→ icebergvodka:抱歉..是(a)的(B)部分~T nonsingular的話只有三種型
→ icebergvodka:態那段證明
→ math1209    :我只乘了一個座標...
→ icebergvodka:是阿~可是outer measure不是measure~可以這樣確定嗎?
→ math1209    :因為那只討論了 I_0.