Re: [分析] 關於均勻收斂與瑕積分~

[Eliphalet (帶港幣八蚊)]

※ 引述《Agarwal (知足)》之銘言：
: 請板上各位高手幫忙解決
: Prove or disprove the following statements:
: Let g_n:[0,\infty)--->|R be a sequence of Riemann improper integrable
: functions and g:[0,\infty)--->|R be the function satisfying
: \lim_{n-->\infty}g_n(x)=g(x) uniformly. Then g:[0,\infty)--->|R is
: Riemann improper integrable.
: 我覺得好像不大對
: 所有g_n如果能被一個瑕可積分函數給控制住應該才會對
: 而舉不出反例
: 不知道我的想法有沒有不對呢?


 不知道下面的例子行不行

 有錯請指正 謝謝

            1/x , 1 <= x < n                                     1/x , x >= 1
 g_n(x) = {                           .   g(x) =  lim g_n(x) = {
             0  , 0 < x < 1 或 x >= n                             0 ,0 < x < 1


   sup | g_n(x) - g(x) |  =  1/n -> 0 當 n -> infinity
    x

  => g_n -> g uniformly on [0,\infty)

  但 g 不是 Riemann improper integrable


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 122.127.115.145
推 math1209:你的 g_n 不是黎曼暇積分. 要修改成 sinx/x.
 感謝 m 大

 已修正過g_n 這樣不知道行不行
※ 編輯: Eliphalet       來自: 122.127.115.145      (05/04 21:35)
推 math1209:yes. you are right.
推 Agarwal:sin(x)/x在0到\infty不是瑕可積?
→ Agarwal:應該是瑕可積吧
推 math1209:yes. 我應該寫成 |sinx/x|.
推 Agarwal:OK..3Q