※ 引述《bajifox (嘖)》之銘言：
: 其實好像算是微積分
: 在Rudin p.140 14
: x+1
: f(x)=∫ sin(e^t)dt Show that (e^x)|f(x)| < 2
: x
: e^(x+1)
: 我是把f(x)變成∫ (sint)/t dt 然後分部積分為
: e^(x)
: |e^(x+1) e^(x+1) cost
: -(cost)/t | -∫ ------- dt
: |e^(x) e^(x) t^2 (e^x)(e-1)
: ^^^^^^^^^^^^^^^^^^ = cos(e^(x+ε)) ------------
: e^(2x+2ε))
: 0<ε<1
: ^^^^^那邊是積分均值
: 但是這樣做出來只能做到 < 3
: 請強者幫忙
: 謝謝
我直接 Copy：有問題在說:-)
14. Deal similarlity with f(x) ＝ ∫_[x,x＋1] sin (e^t) dt.
Show that
(a) e^x |f(x)| ＜ 2
and that
(b) e^x f(x) ＝ cos (e^x) － e^(－1) cos (e^(x＋1)) ＋ r(x),
where |r(x)|＜C e^(－x), for some constant C.
Proof:
(a) 命 u ＝ e^t, 則 du ＝ e^t dt.
故
x＋1 e^(x＋1) e^(x＋1)
f(x) ＝ ∫ sin (e^t) dt ＝ ∫ (sin u)/u du ＝ ∫ 1/u d (－cos u)
x e^x e^x
－ cos u | e^(x＋1) e^(x＋1)
＝ ----------- | － ∫ (cos u)/u^2 du
u | e^x e^x
－ cos (e^(x＋1)) － cos (e^x) e^(x＋1)
＝ ----------------- － -------------- － ∫ (cos u)/u^2 du (*)
e^(x＋1) e^x e^x
1 1 e^(x＋1)
故 |f(x)| ＜ ----------- ＋ ------- ＋ ∫ 1/u^2 du
e^(x＋1) e^x e^x
[採用嚴格不等式是因為 cos u 不可能恆為 1]
1 1 1 1
故 |f(x)| ＜ ----------- ＋ ------- ＋ -------- － -------------
e^(x＋1) e^x e^x e^(x＋1)
＝ 2/(e^x).
故得 e^x |f(x)| ＜ 2.
(b) 欲證 e^x f(x) ＝ cos (e^x) － e^(－1) cos (e^(x＋1)) ＋ r(x), 其中
|r(x)|＜Ce^(－x), for some constant C. 我們考慮
(a) 中之 (*), 故有：
－ cos (e^(x＋1)) － cos (e^x) e^(x＋1)
f(x) ＝ ----------------- － -------------- － ∫ (cos u)/u^2 du (*)
e^(x＋1) e^x e^x
－ cos (e^(x＋1)) e^(x＋1)
＝＞ e^x f(x) ＝ ----------------- ＋ cos (e^x) － (e^x) ∫ (cos u)/u^2 du
e e^x
e^(x＋1)
故 r(x) ＝ － (e^x) ∫ (cos u)/u^2 du
e^x
再以 integration by parts, 我們有:
sin (e^(x＋1)) sin (e^x) e^(x＋1)
r(x) ＝ －(e^x) * { ---------------- － --------- ＋ 2 ∫ (sin u)/u^3 du
e^( 2(x＋1) ) e^(2x) e^x
1 1 e^(x＋1)
故 |r(x)| ＜ (e^x) * { ---------------- ＋ ---------- ＋ 2 ∫ 1/u^3 du
e^( 2(x＋1) ) e^(2x) e^x
[採嚴格不等式是因為 sin u 不可能恆為 1]
故 |r(x)| ＜ 2 e^(-x).
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Good taste, bad taste are fine, but you can't have no taste.
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