→ linch1:小瑕疵 |x-a|<1 有可能 x 會不在[0,∞] 裡 ^_^ 03/08 15:46
→ ert0700:只是要證連續的話可以把連續的那個點固定住 03/08 16:22
推 iamagine:謝謝大大，我了解了~ 03/08 17:01
※ 引述《iamagine (A-gine)》之銘言：
: 我嚐試要証明這個函數是連續，可是我遇到困難>""<
: 麻煩板上大大們，幫我看看該怎麼証明下去呢?
: ____1____
: Let f(x)= 1 + x^2 x E [0,∞) is continuous.
: ↑屬於
: Pf:
: Given ε>0 , there exist δ>0 s.t. |x-a|<δ x,a E [0,∞)
: | ____1____ _ ____1____ |
: implies |f(x)-f(a)|=| 1 + x^2 1 + a^2 |
: | _________a^2 - x^2__________ |
: =| (x^2)(a^2)+(x^2)+(a^2)+1 |
: <| a^2 - x^2 |
: = |x+a||x-a|
: ^^^^^
策略：
for a,x in [0,∞]
∵|f(x)-f(a)| ≦ |x+a|．|x-a|
|x-a|是我們可以控制的，假如|x+a|不會差太多，那就好多了。
if |x-a| < 1, then -1 < x-a < 1, -1+2a < x+a < 1+2a,
∵x,a ≧ 0, we have -1-2a < -1+2a < x+a < 1+2a,
|x+a| < 1+2a 也可以控制囉
開始證明：
given ε > 0,
let δ = min {1,ε/(1+2a)},
if |x-a| < δ,
then |f(x)-f(a)| ≦ |x+a|．|x-a| for a,x in [0,∞]
≦ (1+2a)．ε/(1+2a) = ε
∴ f is continuous on [0,∞]
※ 編輯: cacud 來自: 125.224.35.36 (03/08 15:28)