Re: [分析] 實分析

[math1209 (ww)]

※ 引述《smartlwj (實變我好愛你)》之銘言：
: 2. Let f: [-1,1] → R be Lebesque integrable
:                 1  n
:    such that  ∫  x f(x)dx = 0, n=0,1,2,......
:                -1
:    Show that f = 0 a.e. on [-1,1]
: 請問這兩題要怎麼做呀
: 想好久了，都沒有頭緒，請教教我該怎麼下手  謝謝

Proof.

(2) 因 f 是 Lebesque integrable, 我們考慮其不定積分：F(x) ＝ ∫_[-1,x] f(t) dt.
於是根據假設 ∫_[-1,1]  x^n f(x)dx ＝ 0, n ＝ 0,1,2,... , 我們可知：
(採用了 Integration by parts)

              1                       | 1         1
      0 ＝ ∫   x^n f(x)dx ＝ x^n F(x)|    － n ∫  x^(n－1) F(x) dx
             -1                       |-1        -1

                    1
        ＝ 0 － n ∫  x^(n－1) F(x) dx, 因：F(1) ＝ F(-1) ＝ 0. (自己想想)
                   -1

於是我們得到：

             1
　　  0 ＝ ∫  x^(n－1) F(x) dx, for all n ＝ 1, 2, 3, ... .
            -1

再根據 (1) 小題可知 F(x) ≡ 0 for all x in [-1,1]. (因 F 必為連續函數。)
於是，根據 Lebesgue 微分定理可知： f(x) ＝ 0 a.e. on [-1,1].


NOTE.

(a) 可將 for all n 的部分改成 for all even numbers n.
(b) [-1,1] 也不重要，這可從上述證明得知。　　
(c) 他還有其他相觀的變形，蠻有意思的：bbs://bs2.to
    版：P_Aspotol. 精華區-實分析-7  ◆ The Theory of Lebesgue Integral-
    13  ◆ 積分值恆為零的討論:-)

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 122.116.231.200
推 smartlwj:如果不用第一題的結論，那是否要証一次第一題的東西呢?
→ math1209:以實分析的立場，(1) 是常識 = .=
推 smartlwj:阿...好的  我會努立當成常識 XD  囧