作者chris90174 (獨孤彧)
看板Math
標題Re: [分析] BOLZANO-WEIERSTRASS THEOREM
時間Thu Jul 2 21:49:43 2009
※ 引述《aagpk (小傑)》之銘言：
: 第一次在PTT上發文,請大家多多指教
: 小弟明年要考數研所,請各位神手多多關照
: 目前在讀Elements of point set topology 在一個很重要的定理卡住了
: Def:If a bounded set S in R^n contains infinitely many points,then there
: is at leaet one point in R^n which is an accumulation point of S
: 可以證明+解釋嗎(小弟不才)
我們用反證法。假設所有R^n中的點都不是S的聚點。
所以說，任予一個S中的點 P ，它不會是一個聚點。也就是說，我們可以對P做一個鄰域，
使得這個鄰域裡面唯一一個S中的元素就只有P。
接下來，因為S中的元素有無限多個，所以這樣的P也有無限多個。所以我們可以製造出無
限多個這樣的P的鄰域。但假若如此，S就不是有界的了。
因此，必定存在至少一個R^n中的點，它是S的一個聚點。
證明結束。
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 118.160.68.186
推 zombiea:這樣會有問題 , 因為對不同點 鄰域大小不一定相同 07/02 22:02
→ zombiea:會有無限多東西加起來還是有限的可能 07/02 22:03
推 zombiea:需要調整敘述 , 如使用不可數性質 07/02 22:12
推 moorhsum:take E = {1+1/n, n natural number} then E is bounded 07/03 01:06
→ moorhsum:for 1+1/n, take neighborhood to be of size 1/(n+1)^2 07/03 01:07
→ moorhsum:this way, the infinite neighborhoods don't overlap 07/03 01:08
→ moorhsum:but still bounded, hence this argument cannot work 07/03 01:09
→ chris90174:謝謝樓上兩位指教。我現在知道問題出在哪了 囧 07/03 10:35
→ chris90174:寫了一個錯誤的證明真是不好意思Orz 07/03 10:36
推 chaseko:在推文中得到知識 07/03 12:38