Re: [分析] 看不懂書中證明的一塊

[yusd24 (鄉長)]

E^n 是 R^n 空間嗎 @@?

: Theorem:
:         If f is a continuous function on a closed bounded set D in En then it
: is bounded on D.
: Proof:
:         If f is unbounded on D, there is an integer i and an element a_i, of D
: such that
:                            │f(a_i)│>i
:         Using Theorem(實函數在b點連續且f(b)>0或<0,則存在以b點為中心的球所含的a
: 均滿足f(a)>0或<0), we can assume {a_i} converges to a. a point in D, since D is
: closed.
: Then since f is continuous on D we have that
:                             │f(a_i)│<│f(a)│+ε
: which contradicts the requirement │f(a_i)│>i. Hence f(a) is bounded on D.

: 首先它是用反證法，所以假設函數在D上是unbounded，但是我不懂接下來為何存在一個整
: 數i及a_i滿足│f(a_i)│>i？

我認為應該是說，對於所有的正整數 i，存在一個 D 裡面的元素 a_i 使得

                         │f(a_i)│>i.

所以邏輯上是先給定 i 再決定 a_i
(否則，存在一個正整數 M 使得 │f(a)│< M，對於所有的 a 屬於 D 均成立，即為有界)

↑ 這樣才有 sequence 可以收斂...

再來對這些 {a_i} 我們可以取得一個子序列 {b_k} 使得 b_k 在 D 上收斂，
所以我們可以假設 a_i 在 D 中收斂到 a (否則就取一個子序列代替)

: 我想unbounded是至少有一個點無限大但是為什麼我們可以隨便指出f(a_i)和i的關係?
: 而且無限大不是應該是給定任何一個N，必可找到一個a_i使得f(a_i)>N嗎?
: │f(a_i)│>i感覺好像只是一個特例，是不是題目就是要找出unbounded假設下的一個特例
: ，然後再推翻它，證得原命題？
: 再來就是│f(a_i)│<│f(a)│+ε的問題，也說假設數列{a_i}收斂到a，而且前面已經講
: 過存在「一個」i及a_i，但怎知│f(a_i)│就一定要跟│f(a)│很接近，這個a_i的i搞不
: 好很小，才前幾項而已，而且a_i很可能差極限a很大。所以我不懂書本是故意假設a_i和a
: 離得很近，所以f(a_i)和f(a)差距很小的意思嗎？連續性定義應該不會讓ε太大吧，否則

那個式子應該是對於夠大的 i 才會成立。

因為 f 連續，於是當然在 a 點連續，對於任意的 ε>0  存在一個 delta 使得

|f(y)-f(a)|<ε for |y-a|< delta

因為我們假設序列 a_i 收斂到 a，所以可以保證取得一個 N 夠大使得

        i> N implies |a_i-a|< delta, 因此 |f(a_i)-f(a)|<ε

再由三角不等式得到

        |f(a_i)|-|f(a)| =< |f(a_i)-f(a)| < ε

移項後得到原式

: 距離稍遠處也可能有斷點之類，但不能夠因此說在f在a點處不連續阿
: 再來│f(a_i)│為什麼一定要比│f(a)│大？

矛盾點不在於「在 a 點不連續」，而是矛盾在

            i < │f(a_i)│<│f(a)│+ε    for all large i.

這表示 |f(a)| 只能是「無窮大」

: 另外有一個額外的疑問
: 會收斂的數列是不是必可以用函數表達出來,或者是給出限制?否則亂七八糟沒有任何限制
: 條件的數列,應該幾乎都不會收斂吧?

數列可以看成函數,定義域是「正整數」的函數。
(以後可能碰到其他的 index set. 不過在這裡先不管。)

: 那我們證明過程中故意搞出一個會收斂的數列，這樣不會有只是特例的問題嗎？

是取子序列的收斂，而 closed bounded 在 E^n 裡面就是 compact set.
所以一定有收斂子序列。我有點懷疑書上的引用定理錯誤(書本key錯)@@
實在是看不出要怎麼用xd

: 很多問題一次問出來
: 希望前輩能夠不厭其煩一個一個幫我解答
: 感謝回答


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 61.227.131.132
※ 編輯: yusd24          來自: 61.227.131.132       (08/29 21:13)
→ czk0622     :En 應該是指Euclidean space(給定拓樸的)
→ czk0622     :此拓樸是收集open ball的拓樸
推 yyc2008     :感謝你的回答  有時候書本的文字有點讓人混淆
→ yyc2008     :請問是指哪個引用定理?
→ yyc2008     :另外如果數列看成函數 那是不是求極限n->無窮大
→ yyc2008     :就可以使用羅畢達定理  就像在求函數極限一樣?
→ yusd24      :他應該是引用 bounded + closed => compace (in E^n)
→ yusd24      :再利用 sequential compace 去找子序列收斂
→ yusd24      :當然可以用羅比達，只要前提成立就可以。
推 yyc2008     :謝謝yusd24的回答