Re: [分析] Lp norm的問題

[LimSinE (r=e^theta)]

※ 引述《hips (hips)》之銘言：
: f is complex measurable, u is a positive measure on X
: such that u(X) = 1.
: Assume |f|_∞ >　0.
: Assume |f|_r < ∞ for some r > 0.
: Prove that
: lim  |f|_p = exp(∫log|f|du)
: p->0
:

可設f >=0 (否則以|f|取代f)

想法：
要證 lim (∫f^p du )^(1/p) = exp(∫log f du)
兩邊取對數即證

lim log(∫f^p du)/p  = ∫log f du

然後左邊想用羅必達法則，所以要證

a. lim ∫f^p du = 1 (所以是0/0，可以用)

b. d/dp ∫f^p du = ∫ f^p log f du (微積分交換問題)

假設a.b.，則即證

lim (∫f^p log f du)/(∫f^p du) = ∫ log f du
但是左邊分母由a. 之極限是1，故即證

c. lim ∫f^p log f du = ∫ log f du

以下證明a.b.c.

a.
對於 0<p<r， 0 <= f^p < g = f^r + 1 ，可積分，故由 LDCT得證。

b.固定p0,p1
0<p0<p<p1<r
注意到 lim(x→0) x^p0 log x = 0, 故 x^p0 log x 有下界 B
B <= f^p0 log f <= f^p log f <= f^p1 log f <= C f^r  (for some C)
|f^p log f| <= B + C f^r
由LDCT知 ∫f^p log f du 是p之連續函數
同時
∫(p0至p1) ∫|f^p log f| du dp <=∫(p0至p1) (B+C∫f^r du)dp
= (p1-p0(B+C∫f^r du))
故由Fubini 定理
∫(p0至p1)∫f^p log f du dp = ∫∫(p0至p1) f^p log f dp du =∫f^p1du-∫f^p0du
由微積分基本定理，即得b.

c. 記 f= f1 + f2，f1 = f 1_{f>=1}, f2 = f 1_{f<1}
只要證c.對 f1,f2 都成立即可
f1：固定p1, 0<p<p1<r
0<= f1^p log f1 <= f1^p1 log f1 <= C f^r (for some C)
由 LDCT，得證(極限必為有限)
f2：0<= - f2^p log f2 對 p↓0時是遞增的！
由 MCT 得證(極限可能是 -無限大)
故兩者可加，得到對f的極限式

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r=e^theta
即使有改變，我始終如一。

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 219.68.27.21
※ 編輯: LimSinE         來自: 219.68.27.21         (09/08 20:36)
推 yutzu903    :真漂亮~
→ yutzu903    :但是你證明 c. 不就是把 lim 丟進去~
→ hips        :極限也不是說丟就能丟,原po證的很嚴謹.
推 yutzu903    :因為原po在證明 b. 的時候 已經順便證明 c.了
沒有喔，b.中間只有說可以p→p0>0，但是c. 是要p→0
※ 編輯: LimSinE         來自: 219.68.27.21         (09/08 23:09)
推 hips        :請問最後一句,為什麼兩者可加呢?
有限數 + 有限數、或有限數+ 負無限大都有定義
我要強調的是f1的部分不會變成正無限大，那樣就不可加了
※ 編輯: LimSinE         來自: 219.68.27.21         (09/08 23:23)
推 yutzu903    :sorry, 第一次沒想清楚~ 的確 c. 不能省
推 hips        :謝謝原PO,也謝謝樓上的建議作法,感覺比我原本的好.
※ 編輯: LimSinE         來自: 219.68.27.33         (11/23 19:30)