Re: [分析] 集合的單調性

[cgkm (cgkm)]

※ 引述《apom0228 (ㄚ碰)》之銘言：
: Let I=[0,1]
: 而 Q 為 I 中有理數所成集合
: write Q={x_k}
: for each k,let x_k屬於J_k=(x_k-(1/(2^k+2)),x_k+(1/(2^k+2)))

Rewrite:

Let I = [0, 1], and let Q be the set of all rational numbers in I.
Let
        x , x , ...
         1   2
be an enumeration of Q, and for each k, let

                      k+2          k+2
        J  = (x  - 1/2   , x  + 1/2   ).
         k     k            k

: 我的問題來了
: 因為 x_k 為 I 中的有理數，且有理數間為稠密排列
: 所以我認為 I 會包含於 ∪J_k
: 可是這樣就會出現問題
: ∵  I 包含於 ∪J_k
: ∴ 由測度的單調性可知
: => 1 = |I|≦|∪J_k|
:           ≦Σ|J_k|
:           = Σ(1/2^k+1) , k=1~∞
:           = 1/2 矛盾
: 所以問題好像出在我一開始認為 I 包含於 ∪J_k是不對的
: 但我想不出反例

那已經是反例了，不是嗎？

Claim. ∪ J  does not contain I.
           k
Hint for a constructive proof:

Let I  = I \ (J  ∪ ... ∪ J ).
     k         1            k

1. Construct a sequence (y ) so that for all k,
                          k

                      k+3          k+3
        E  = [y  - 3/2   , y  + 3/2   ]
         k     k            k

   is contained in I , and so that
                    k

        E  contains E  contains ...
         1           2

2. Show that y  converges to a limit y in I,
              k
   and that y is not in J  for any k.
                         k


: 請各位大大指正一下我的錯誤
: 另外一個問題是
: |I|-|∪J_k|=|I\∪J_k| ?

No. Choose k* so that x   = 0. Then
                       k*

                   k*+2     k*+2
        J   = (-1/2    , 1/2    ),
         k*

is contained in I, so
                                       k*+2
        |∪ J | ≧ |I ∩ (∪ J )| + 1/2     ＞ |I ∩ (∪ J )|,
             k                k                           k
and hence

        |I| = |I \ ∪ J | + |I ∩ (∪ J )| ＜ |I \ ∪ J | + |∪ J |.
                       k               k               k         k


: 以上問題請大大們不吝指教
: 謝謝!!!

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 207.171.15.215
※ 編輯: cgkm            來自: 207.171.15.215       (10/17 05:42)
※ 編輯: cgkm            來自: 207.171.15.215       (10/17 05:58)
推 apom0228    :感謝大大解惑