Re: [分析] 證明 compact sets are closed.

[yusd24 (鄉長)]

※ 引述《LeeSeDol (嘖嘖...)》之銘言：
:
:  E為compact set, 欲證E為closed
:                         ┌────────┐           c
:                         │ E       q2 .   │          E
:                         │  .q3           │
:                         │                │     .p
:                         │      .q1       │
:                         └────────┘
:                      c
:  Rudin的證法是希望證E 為open:

邏輯應該改成這樣:

對於任意的 p 屬於 E, q 屬於 E^c

我們都可以找到兩個 open set V_p, U_p 使得

p 屬於 V_p, q 屬於 U_p, 且 U_p 交集 V_p 為空集合
(注意這個條件其實很容易滿足..只需要 space 為 Hausdorff.)

然後我們把 p 跑遍所有的 E, 此時 V_p 的聯集為 E 的 open cover.

由 compact set 的定義，我們可以找到 finite subcover.

假設為 V_p1,....V_pn, 則取相對應的 U_p1,....U_pn

令 U = U_pk 的交集 (k=1,...,n)

因為是有限交集, 所以 U 還是 open set, 並且 U 一定包含 q

而且因為 E 包含在 V_p1,....V_pn, 所以 E 交集 U 為空集合

故 q 是 E^c 的內點. 上述論證對所有的 q 屬於 E^c 均成立. 所以 E^c open



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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 61.227.136.37
→ yusd24      :我當初在念的時候覺得 rudin 這樣弄得很強
→ yusd24      :因為他事實上是證明 Hausdorff space 裡的 cpt set
→ yusd24      :都一定會是 closed. 只是他沒有明講出來而已
推 LeeSeDol    :感謝! 但其實在"p 跑遍所有的 E"那步時不就已經
→ LeeSeDol    :知道 E 非open.
→ LeeSeDol    :因為如果因為E是open, q=limit pt.時, p 無法跑遍 E
→ yusd24      :p 還是可以跑遍, 只不過這樣的話你就找不到 U
→ yusd24      :因為 U 可能因為無窮交集而縮成一點..就不是 open 囉
→ yusd24      :cpt set 的特殊能力就是把"無窮"變成"有窮"
→ yusd24      :有些性質是在有窮的時候才會是對的.
推 LeeSeDol    :那找不到 U 不就代表 q 非內點...
→ yusd24      :所以 E 不是 cpt set 的時候這個命題是錯的
→ LeeSeDol    :可是我們是擁有什麼條件才有資格排除 E 為open
→ yusd24      :ex: E=[-1,0) 非 cpt, q=0, 你可以試著找找那些 U,V
→ yusd24      :沒有排除 E 是 open. 我們只有證明 E 是 closed
→ yusd24      :一個集合可以是又開又閉,  ex: 整條實數軸
→ yusd24      :而命題只有說: metric space 的 cpt set 都是 closed
推 LeeSeDol    :我們證到一半不就已經使用到 E 非open的條件
→ yusd24      :哪裡??
→ LeeSeDol    :p 跑遍 E 都有相對應的 U => not open
→ yusd24      :E open 這也會是對的. 你可以試試看 E=(0,1) q=2
推 LeeSeDol    :那 E=(0,1) q=1 ?
→ yusd24      :這也是辦得到. 你可以照著上面的論述走走看
→ yusd24      :只要p 跟 q有距離就可以找到那兩個你想要的鄰域
推 LeeSeDol    :是這樣嗎? U = U_pk 的交集 = {1}
→ yusd24      :所以就做不下去了...因為這樣的話你不知道 q 是不是
→ yusd24      :內點 (事實上他當然不是)
→ LeeSeDol    :請問 E = (0,1)包含於 Hausdorff space嗎?
→ LeeSeDol    :我不是數學系的所以缺乏背景知識...
→ LeeSeDol    :我的想法是如果包含, 那q=1離E裡面最近的點距離為何
→ LeeSeDol    :上面那問題好像答案是"找不出最近的點"...
推 TaiwanFlight:你知道 Hausdorff space 的定義嗎？
→ Xixan       :Hausdorff space: 相異兩點可用open set隔開
→ Xixan       :或是neighborhood也可以拉，沒什麼差
→ Xixan       :另外(0,1)不compact，所以你照證明走當然會錯
→ Xixan       :證明過程並不排斥open(compact set可能open)
→ Xixan       :但不代表隨便一個open set都可以
→ LeeSeDol    :可以說說compact set可能open的例子嗎? 謝謝
推 TaiwanFlight:discrete space下之有限集
→ Xixan       :空集合也是啦～ 只是沒什麼意義
推 LeeSeDol    :謝謝大家, 我因為混到之前基礎微積分似是而非的概念
→ LeeSeDol    :有點想錯了, 謝謝你們耐心導引
推 linbigheads :原PO好強~