※ 引述《quetion (學數 =.= 數學 )》之銘言：
: Let X_n be finite r.v.s. Show that there exists a constant sequence {a_n}
: such that X_n/a_n -----> 0 a.e.
: [想法]
: 這裡如果給定動差存在 也就是 E|X|<∞
: 那麼我們可以得到
: E|X_n|
: Σ P(|X_n/a_n|>ε) < Σ -------- < ∞
: a_nε
: 再利用Borel-Cantelli lemma便可得到我們要的結果
: 如果沒有動差 是否也可以算?(這是鐘開萊裡面的習題)
Proof. Let ε ＞ 0. For each n, since
P(|X | ≦ t) ↗ 1
n
as t → ∞, there exists a in (0, ∞) such that
n
-2
P(|X | ≦ εa ) ≧ 1 - n .
n n
Hence,
Σ P(|X / a | ＞ ε)
n n
＝ Σ (1 - P(|X |≦ εa ))
n n
-2
≦ Σ n ＜ ∞.
By the Borel-Cantelli lemma,
P(|X / a | ＞ ε i.o.) = 0,
n n
and the result follows. □
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