→ k6416337 :那個χ是特徵函數?那他所對應的集合是什麼? 04/08 01:22
→ math1209 :-) 04/08 04:40
推 math1209 :補推 XD 04/08 04:44
※ 引述《k6416337 (とある煞氣の光希)》之銘言：
: Prove that if fεL^1(K) for any compact subset K of Ω s.t. ∫_Ω f．ψdx=0
: for all ψεCc(Ω) (continuous with compact support),then f=0 for almost all Ω
: .
: 老師有給提示，若f一開始就是Cc函數，那我們就可以很快的推得結果。
: 現在f的條件就只有L^1，所以想用平滑函數去逼近f
: ∞
: 根據課本的推論知道，Cc is dense in L^1 in L^1 norm，所以對應每個η>0，我可以找
: 到平滑函數g滿足||f-g||_1<η。
: 此時，我們可以用Minkowski不等式得知||f||_1≦||f-g||_1+||g||_1。
: 現在問題來了，我們得以控制||f-g||_1的大小，假若也能控制||g||_1的大小，使它任意
: 小(可能小於η的某個正數倍)的話，就可以得到||f||_1=0，也就是題目結果。
: 但是我想了半天就是不能將||g||_1與∫_Ω f．ψdx=0這個條件組合在一起。
: 所以想請高手能多提示一點，例如可以參考哪本書之類的，謝謝。
令 ψ 逼近 χ*sgn(f)
|f| = f *χ*sgn(f) = f *[χ*sgn(f) +ψ-ψ]
= fψ + f*[χ*sgn(f) -ψ]
所以 ∫fψdx = 0 => ∫|f| = 0
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