推 Lindemann :這一定要推的啦^^ 01/18 17:56
※ 引述《jimlucky (......)》之銘言：
: 這是Zygmund的一個習題，想不出來怎麼下手好
: 請各位大大指點了，謝謝~
: 2pi
: lim ∫ f(x)coskx dx = 0 where f 屬於 L^2(0,2pi)
: k-->無限大 0
這有幾個值得知道的事實:
(1) 針對本題，這只是 Bessel inequality (in Fourier Series) 的直接推論。因為本題
限制 f 於 L^2.
(2) 關於此，較為一般的型態是 f in L(I), I 可以是廣義區間。上述依然成立。 而此結
果稱之為 Riemann-Lebesgue Lemma. 以下有一本中國的書籍是學習實分析的好書 -實
變函數，周民強(pp.135-136). 由此書中，你可以看到更為廣義的 Riemann-Lebesgue
Lemma. 請再看看這本書的後面 (第 224 頁…)
(Riemann-Lebesgue Lemma) 命 f in L(I), 其中 I 可以是廣義區間，則
lim ∫ f(t) sin (αt＋β) dt ＝ 0.
α→∞ I
關於上面的式子，這來自 Apostol 那本高微的書中…(不過我不建議讀這本書的這部分，
因為作者避免使用測度論。)
給你 3 個習題: (置文末)
(3) Zygmund 這裡的習題 16, 也強調了一點: 弱收斂並不導致強收斂。你可以看看推文裡
的林老師寫在數學傳播的科普文章，他寫的文章都是值得閱讀的好文章。
(4) 我們再延續 (2), 利用 Riemann-Lebesgue Lemma 兩次，可得著名定理-黎曼局部定理
Riemann-Localization Theorem (RLT). 而此定理 (RLT) 說明了一個鼎鼎大名的積分
Dirichlet integral 的積分值為 π/2. 即:
∞
∫ sin x/x ＝π/2.
0
(5) 以上這 4 點，我都保留了點東西。否則文章會寫不完…要是你有興趣於其中哪一點，
我們可以再來深究。
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(習題 1)
Suppose
g(x) ＝ 2x if 0≦x≦1/2
＝ 2－2x if 1/2≦x≦1
with the period 1, i.e., g(x) ＝ g(x－1) for all x in |R, and f is Riemann
integrable on [0,1]. Prove that
1 1 1
lim ∫ f(x)g(nx) dx ＝ ∫ f(x) dx ．∫ g(x) dx.
n→∞ 0 0 0
NOTE. 事實上，這對於 f in L^p([0,1]) 都會成立，其中 1≦p＜∞. 另見 Problems
in Analysis-Bernard Gelbaum, Prob. 77, p.13.
(習題 2)
b 2 b
Let f in L^1(a,b). Show that ∫ f(x) |sin nx| dx → --- ∫ f(x) dx.
a π a
(習題 3)
設有自然數列 n_1 ＜ n_2 ＜…＜ n_k ＜…，且令
E ＝ {x in [0,2π]: {sin (n_k x) 收斂},
證明 m(E) ＝ 0.
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Good taste, bad taste are fine, but you can't have no taste.
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※ 編輯: math1209 來自: 220.133.4.14 (01/18 10:36)