推 tryitredboy :好文 01/19 14:36
推 Lindemann :大推,感謝math1209大大,我回一篇廢文好了>< 01/19 14:54
推 k6416337 :原PO真的很強耶! 01/19 22:30
→ k6416337 :不知道怎樣才能讀得像原PO這樣 我的休閒就只是看動畫 01/19 22:31
※ 引述《Lindemann (nam myo horen ge kyo)》之銘言：
: 昨天念著念著就不小心看到這個定理了>_<
: 就看這本書有提到 微積分縱橫談 沈燮昌 邵品琮
: 我是還停留在高微的level啦,就記得很久很久前實變念到好像有一個叫做Fatou定理?
: 接下來我就.... 實變掛了><
: 有人可以說一下p258-p.259 Weierstrass第一第二這個定理證明的證明的精神
: 我不太能掌握這本書的証明
: 還有Weierstrass逼近這個定理實用嗎???
: 用一個任意多項式去逼近一個函數,奇怪為什麼這多項式是無窮級數?
: 還有有Fourier級數又稱之"三角"多項式?
微積分縱橫談-沈燮昌,邵品琮. 的確是一本好的科普書籍。至於你提到的 Fatou's
lemma 應該與你要談論的逼近定理無關。我們有許許多多不同類型的逼近定理，而
以 Weierstrass 逼近定理較為出名。而你問到第一與第二定理，關於這一點請翻
閱 Mathematical Analysis-T.M.Apostol, 第十一章部分: 裡頭提及了該怎麼使用
第二定理證明第一定理 (事實上這兩個定理不難看出是等價的…).
當我們談論到 Weierstrass 逼近定理時，往往指的是第一定理。這個第一與第二
的名稱就無須太在意了。較需要知道的還有 Stone-Weierstrass 定理 (1937,48).
昨天在你寫的文章之下，我們談及了一些數學史，我提到了在某種意義上來看:
Stone-Weierstrass 定理 (1937) 會與 Fourier 的看法 (1807) 等價。
這是基於我們得找到一個適當的 Algebra. (請參考 Rudin 的高微名著) 而此適當
的 Algebra 的其中特例就是正餘弦函數的線性組合。不過由於當時 Weierstrass
逼近定理的證明是來自 Weierstrass 對於 Heat Kernel 的研究，因此是否能跳脫
heat, 而在 19 世紀末去得到此 Weierstrass 逼近定理就很難說了(我的意思是指
要隔多少年才會被發現？) 此段我還有很多話想說，只是我文章改來改去，覺得這
話要說的完整就得建立在一堆不確定的假設之下，而且意義也不大，就不多說了…
當然，以現在的眼光來看 Weierstrass 逼近定理的方法有很多種，例：
(1) Principles of Mathematical Analysis—Walter Rudin, pp. 159-160.
(2) Mathematical Analysis—T.M. Apostol, p. 322.
(3) The Elements of Real Analysis—Robert G. Bartle, pp. 171-172.
(4) Introduction to Approximation Theory—E.W. Cheney, pp. 67-68.
(5) Partial Differential Equations—Fritz-John, pp. 209-213. (Exercise 1).
等方法。
最後你提到那兩段文字：為什麼這多項式是無窮級數? 與 Fourier 級數又稱之"三角"
多項式? 第一個問題: 我不確定你是哪裡看來的。第二問題通常會稱為三角級數。而
會稱為三角，這應該是說明 Fourier 當初考慮的僅僅是正餘弦函數的 (無窮)線性組
合。
NOTE.
(0) 上頭提到了 1937, 48. 這是指在 1937 時先給了證明，而在 1948 年 Stone 自
己又給了一個簡化的證明。
(1) 這由 Landau 引進，蠻接近 (5), 也涉及了 convolution 與 Dirac sequence.
(2) Fejer 定理的應用 (於 Fourier Series).
(3) 這是來自 Bernstein (1912) Polynomials.
(4) 這來自算子理論。(與 (3) 有些關係…)
(5) 這來自 Heat kernel. (Weierstrass)
此外，我寫過一篇關於這方面的數學資料文件。需要的話，私底下寫封信給我。裡面
有一些數學應用。
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Good taste, bad taste are fine, but you can't have no taste.
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※ 編輯: math1209 來自: 220.133.4.14 (01/19 13:56)