Re: [分析] 一個長期以來疑惑

[tsaihohan (有人想一起下圍棋嗎)]

※ 引述《ppia ((= =))》之銘言：
: ※ 引述《Lindemann (該閉關了>_<)》之銘言：
: :        當初念實變我一直有一個最關鍵的疑惑沒搞清楚(現在有點懶的去唸了)
: : 就是為何Lebesgue積分要對y軸切呢????  為何這樣子就是一個偉大的革命呢?
: : 我是大概印象中Cantor set或是Dirichlet 函數因為有理點測度是0(可以算出來)
: : 但是為何切y軸可以解決這個Dirichlet 函數積分問題
: : n年前我有問過我好友,他是說站在y軸來看那些有理點都不見了,這樣對嗎?????
: :                  說到Lebesgue積分,據說Lebesgue是一個很會教書說故事的人
: : 我不知道現在數學系的人還有沒有再說這個笑話(我記得那時候老師有說啦XDD)
: : 好像Lebesgue的意思是說
: :                   如果我要數我口袋裡的硬幣,Riemann先生是一個一個掏出來的
: : 而我是先把 1 元  5元  10元 50元  分類在去數,這樣子就很容易理解Lebesgue積分
    ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
    請問這段就是在講simple function嘛?

    另外我想問一下下面這個定義它想表達的是什麼意思?
                  n
    Suppose s(x)=Σc_i*K_(E_i)(x) is measurable
                 i=1

    (x屬於X, X is a measurable space, c_i>0)


    and suppose E屬於Μ(Μ is a σ-ring). We define

                   n
           I_E(s)=Σc_i*μ(E∩E_i) (μ is measure)
                  i=1
           ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
           這個式子不懂他想說什麼

    If f is measurable and nonnegative, we define

           ∫s dμ=sup I_E(s)
            E
    where the sup is taken over all measurable functions s such

    that 0≦s≦f.

: : 為何這種數法是一個偉大的革命呢????
: 切y軸並不是Lebesgue積分的特性，
: Lebesgue和Riemann積分最大的差別在於前者認可的可測集/函數較後者多。
: 相對於Lebesgue可測集，Riemann積分也對應有Jordan可測集：
:     Definition:
:       A bdd subset S of |R is Jordan measurable iff
:       χ_A is Riemann integrable iff m^*(A)=m_*(A),
:       where m^* and m_* are the outer and inner Jordan measures, respectively.
: 對於定義在[0,1]上的有界實函數f，Riemann可積可以等價定義成：
:          -1
:         f ([a,b]) is Jordan measurable for any [a,b].
: 而其Riemann積分值也可以仿造所謂的切y軸法定義。
: Jordan可測集在有限聯集交集下封閉，其測度也有可加性，但是在無限聯集交集下就
: 不一定封閉，這就是Riemann積分理論的弱點：可積性無法pass limit。
: 比如說，我們把[0,1]中的有理數排序r1,r2,r3,...，令A_n={r1,r2,...,rn}，
:                                         ∞
: {A_n}是一個遞升的Jordan可測集序列，但是 U A_n 並非Jordan可測。
:                                        n=1
: 這是從measure-first formulation的角度來說，從另一種integral-first formulation
: 的角度來說 Lebesgue積分的完備性(L^1空間的完備性)幾乎是顯然的：
: 要定義|R上的Lebesgue積分，我們先選某一些比較簡單、其積分值比較好定義的函數，
: 這些函數可以是定義在有界集上的階梯函數、或分段平滑函數、或連續函數、
: 或Riemann可積函數。這些「基本函數」在線性組合和order operations下封閉，
: 但在極限下不封閉，也就是說 f = lim f_n a.e. 並不能保證f也是基本函數。
: 這也就促使我們做某種completion：把這些極限函數都收進來，用lim∫f_n來定義
: f的積分值。但是為了使積分值的定義不隨數列而變，我們必須對函數列作更強的要求：
:      For any ε>0, there correspond some N such that
:                                   ∫|f_m-f_n| < ε, whenever m,n > N.
: 這也就是說：一開始的基本函數空間在L^1 norm下不完備，
: 我們幾乎處處逐點收斂的科西基本函數列來做完備化，所得到的這些函數稱為Lebesgue
: 可積函數。至此，Beppo Levi Theorem, Lebesgue Dominated Convergence Theorem
: 都會成立，利用這兩個定理我們知道：如果現在又把Lebesgue可積函數當作新的
: 基本函數，再跑過上面完備化的過程一遍，我們並不會得到更多的函數，
: 這也是我們所預期的事。

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◆ From: 163.24.78.119
推 math1209    :對,那邊的確講的是 simple function.
→ math1209    :接下來是定義 simple function, 與該怎麼定義一個自
→ math1209    :然的 非負可測簡單函數的積分. 藉由非負可測簡單函數
→ math1209    :去定義一個非負可測函數的積分. (這一個也很自然..)
→ math1209    :因為他跟黎曼積分類似.
→ math1209    :定義 Lebesgue 積分有很多方法. 上述的方法有個好處
→ math1209    :可以推廣到抽象積分. 至於其他的定義方法, 有的是
→ math1209    :為了避免引進測度論來定義. 這也行, 但這會使人昏頭
→ math1209    :就是了...
推 Lindemann   :忘記推了,其實我實變真的幾乎除了故事都忘光光了XDD
→ tsaihohan   :math神((參拜XD