※ 引述《gp3gp3 (gp3gp3)》之銘言：
: 題目如下：
: Prove that if f(x) is a function from R to R such that
: f(x)=f'(x) then there exists a constant C so that
: f(x)= C e^x (題目完)
: 我是自己試了一下 如果設 (以下的c0,c1,c2,c3等等 指
: c , c , c , c )
: 0 1 2 3
: f(x) = c0 + c1x + c2x^2 + c3x^3 + c4x^4 + c5x^5 + · · ·
: 則
: f'(x) = c1 + 2c2x + 3c3x^2 + 4c4x^3 + 5c5x^4 + 6c6x^5 + · · ·
: 比較係數 得
: c1 = c0, 2c2 = c1, 3c3 = c2, 4c4 = c3, 5c5 = c4, 6c6 = c5, . . .
: 所以
: c2 = c0/2, 3c3=c0/2, 4c4=c0/3‧2 ......
: f(x) = c0 + c0x + (c0/2) x^2 + (c0/3!) x^3 +.....
: = c0( 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + .....)
: = c0 ‧e^x
: 不過題目並沒有說f(x)是多項式，所以我就不知道到底要怎麼證
: 課本是有證出 若f(x)=f'(x) 和 f(0)=1的話 那麼這個f(x)就一定是
: e^x 不過不知道要怎麼用到這題上＠＠ 請教了 謝謝!!
我認為你這個點子蠻好的，如果你是沒有學過O.D.E自己想出這個方法，
那表示你也是有某種程度的創造力。雖然這個問題不需要用你的方法解，
但只要方法可行，就是一個好方法。這種冪級數來解方程的方法其實還蠻
普遍的。作方程的人如果無法看出可以用哪一種方法解的時候，就會開始
使用密級數的方法。其實有時候很多定理的發明都是馬後砲，意思就是很
多時候你會先有解，才想要去搞解的唯一性。當你搞不出解的時候，現代
數學才會想辦法用甚麼固定點的方法想辦法找解。
至於其他的Plover跟Math1209已經說得很清楚了。
至於用級數解也是有好處，因為可以用逼近的方式去看函數的圖形，或是
模擬解的行為。這種冪級數的的方法可以用來解比較複雜的二階線性微分
方程，或者是多變數的線性常微分方程。
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