推 srewq :原來如此!!!! 非常感謝 02/25 00:44
※ 引述《srewq (南瓜)》之銘言：
: Let α be a positive constant. Determine whether the intgral
:
:
: ∞ sin(x^2)*(1-cos(x^2))
: ∫ ─────────── dx
: 0 x^α
:
: converges absolutely , or converges conditionally, or diverges .
首先寫積分為 ∞ 2sin(x) － sin(2x)
∫ -------------------- dx, 此處 β ＝ (α＋1)/2.
0 4 x^β
再拆成兩部分: (1) ∫_(0,1] 與 (2) ∫_[1,∞).
(1) 記 2 sin x ＝ 2x － 2 (x^3)/3! ＋ o(x^3)
與 sin(2x) ＝ 2x － (2x)^3/3! ＋ o(x^3)
則分子為 x^3 ＋ o(x^3), 而分母為 4 x^β.
故可知其 integrand 為 {1 ＋ o(1)}/{4 x^(β－3)}.
欲求其收斂，則必須 β－3 ＜ 1, 即 α＜7. （注意到等號不會成立…)
(2) 利用 Dirichlet 積分判別法，可知當 0＜β, 可使此積分收斂。
即 －1＜α. （注意到等號不會成立…)
綜合以上可知，欲使積分存在，則其充分必要條件為 －1＜α＜7. 但是，根據假設要求
α 為正，故我們有當 0＜α＜7, 可使積分收斂。
至於面對絕對收斂的區間範圍: 1＜α＜7. (這部分留給你…)
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Good taste, bad taste are fine, but you can't have no taste.
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