[分析] 實變2題

[smartlwj (最後48天衝刺)]

1. Suppose that E in R^n with m(E) < ∞, and f is strictly positive

   Lebesgue measurable function defined on E. Here m(E) is the

   Lebesgue measure of the set E.

   Prove thet if f is Lebesgue integrable in E, then
            p                         +
        ∫ f (x)m(dx) → m(E) as p →0
         E

2. Suppose that x > 0, j=1,2,...,n, and let
                 j
                      n   p
      k(p) = [(1/n)( Σ  x )]^(1/p)  for p>0
                     j=1  j

  Prove that lim k(p) = max{x , ... , x }
            p→∞            1         n

請問這兩題要怎嘛做呢?
第一題看起來似乎是把極限放到積分裡面就可以了
但是不知道要用甚麼方式才能讓極限丟進去...
而第二題就比較沒想法了，看起來有點像是積分的形狀...可是不知道要怎麻下筆
請指點一下，謝謝

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 140.114.34.113
→ keroro321   :1.把積分區域拆成 {f≦1}和{f>1}前面用區域LMCT
→ keroro321   :後面區域用LDCT..
→ smartlwj    :後面的地方..控制函數是找哪個呢?
→ keroro321   :自己.@@
→ smartlwj    :感恩...做出來了
推 math1209    :2. 夾擊.
→ math1209    :稱 max (x_1,...,x_n) = M.
→ math1209    :(M^p/n)^(1/p) ≦ k(p) ≦ M.
→ math1209    :比較難的應該是 p->0+, 且注意到 K(p) ↑.
→ math1209    :因此, 由此也可證明 G.P. ≦ A.P. by k(0) ≦ k(1),
→ math1209    :因 k(0) is defined as k(p) as p ->0+.
→ math1209    :而 k(p) 遞增與凸函數有關係了.
→ smartlwj    :謝謝math大...我在想想看
→ smartlwj    :請問math大 為何k(p)遞增性和凸函數有關?
推 math1209    :http://frankmath.cc/plover/Apostol.pdf p.220.
→ math1209    :Cor 2.
→ math1209    :你可以看到 p222 為止, 全都是跟你 K(p) 有關.
→ math1209    :更進一步的, 我就不說了 XD.
→ smartlwj    :感恩  math大...獲益良多