[分析]若∫(0到x)f(t)dt=∫(0到2x)f(t)dt∀x in R 求f(x)

[gp3gp3 (gp3gp3)]

題目如下： Find f(x) if


  x            2x
∫ f(t)dt  =  ∫ f(t)dt   for all x in R
  o            o

and f(x) is a continuous function.



觀察f(x)=0 的話，原等式會成立。但不知道要怎麼真的去算，

及有沒有其他的可能＠＠

我是這樣算的

  x            2x            x          2x
∫ f(t)dt  =  ∫ f(t)dt  = ∫ f(t)dt + ∫ f(t)dt
  o            o             0          x

          2x
所以得到 ∫ f(t)dt = 0   -----------（A）
          x

然後就不知道了  看最後一個等式 也沒辦法用

Fundamental theorem of calculus  去微他而得到f(x)呀＠＠

先謝謝了！!
-------------------(後來寫的)  我大概想到了（不確定對不對＠＠）

已知 (A)成立的話  除了f(t)=0  否則是不可能的  理由如下

如果f(t) 都是正的  x隨便取個不是0的數  就是個counterexample
如果f(t) 都是負的  x隨便取個不是0的數  也是個counterexample
如果f(t)有正有負 假設f(t)在0附近有正有負（若f(t)在0附近
都是正或都是負就可用上方的情形）不管正負如何急遽變化
只要是連續函數 便可以找到很小的正x
使得f(t)在x到2x間都是正的 或都是負的 這樣（A）是不可能為0
所以f(t)只可能為0了
不太肯定的地方是 我這裡有用到極限（x趨近於0+）所以不知道
會不會因為沒注意細節而錯誤   先謝謝大家提醒



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◆ From: 131.123.62.5
推 kakashi45232:積分0到x f(t)dt不是等於f(x)嗎??
→ kakashi45232:搞錯了是F(x)才對= =
※ 編輯: gp3gp3          來自: 131.123.62.5         (03/21 22:32)
→ kuromu      :  2x
→ kuromu      :∫ f(t)dt  對x微分是2f(x)
→ kuromu      :  0
→ kuromu      :好像是2f(2x)= =
※ 編輯: gp3gp3          來自: 131.123.62.5         (03/21 22:33)