※ 引述《keroro321 (日夕)》之銘言：
: ※ 引述《ppia ((= =))》之銘言：
: 感謝你的回應!!我看了你舉的例子!!,但是有個地方的估算應該是錯了.
: : Let Fn be a sequence of non-negative continuous functions defined on [0,1]
: : satisfying:
: : 1-1/2^n
: : (a) Fn = 0 on [ 0, ────] ;
: : 2^n
: : 1/2^n
: : (b) ∫ Fn dm = 1/2^n;
: : 0
: : (c) Fn(x + 1/2^n) = F(x), for all x with 0 ≦ x ≦ 1-1/2^n.
: : ∞
: : m({x│Fn(x)!=0, for all n≧N.}) ≦ Σn=N 1/2^n →0 as N→∞.
: : Hence Fn→0 a.e. [m]. By (b) and (c), ∫ Fn dm = 1.Thus porterties
: : (1) and (2) are fullfilled. [0,1]
: : Next, for any continuous g, for any ε>0, there corresponds some N with
: : k k-1 k
: : |g(x)-g(──)|<ε, for any x in [──, ──] , for k=1,2,...,2^n, for all n>N.
: : 2^n 2^n 2^n
: : Hence for each n > N,
: : 1
: : ∫ │Fn(x)g(x)-g(x)│dx ≦
: : 0
: : 2^n k/2^n
: : Σ ∫ Fn(x)│g(x)-g(k/2^n)│+│g(x)-g(k/2^n)│dx < 2ε.
: : k=1 (k-1)/2^n
: ######
: : 在這兒你的估算不對 Fn(x)│g(x)-g(k/2^n)│+ Fn(x)g(k/2^n) +........
: 少了 | Fn(x)g(k/2^n)-g(k/2^n)│
: 這項經過積分加總後影響可是非常大,上述估計沒估到這項 @@
: ######
抱歉這邊寫得太簡略了 我的意思是這樣:
Put I_n,k = [k/2^n,(k-1)/2^n]
1
│∫ Fn(x)g(x)-g(x)dx│
0
2^n
≦ Σ │∫Fn(x)g(x)-Fn(x)g(k/2^n) dx + ∫-g(x) + Fn(x)g(k/2^n) dx│
k=1 I_n,k I_n,k ───(A)────
(A) = g(k/2^n)/2^n
=∫g(k/2^n) dx
I_n,k
2^n
≦Σ ∫ Fn(x)│g(x)-g(k/2^n)│+│g(x)-g(k/2^n)│dx < 2ε.
k=1 I_n,k
: : 1 1 1
: :Therefore, lim ∫ Fn g dm = ∫ g dm = ∫ g dμ, which means m =μ.
: : n→∞ 0 0 0
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※ 編輯: ppia 來自: 125.231.211.133 (04/03 19:00)
※ 編輯: ppia 來自: 125.231.211.133 (04/03 19:07)