[分析] 一題實變

[k6416337 (とある煞氣の光希)]

Prove that if fεL^1(K) for any compact subset K of Ω s.t. ∫_Ω f．ψdx=0
for all ψεCc(Ω) (continuous with compact support),then f=0 for almost all Ω
.

老師有給提示，若f一開始就是Cc函數，那我們就可以很快的推得結果。
現在f的條件就只有L^1，所以想用平滑函數去逼近f
                     ∞
根據課本的推論知道，Cc is dense in L^1 in L^1 norm，所以對應每個η>0，我可以找
到平滑函數g滿足||f-g||_1<η。

此時，我們可以用Minkowski不等式得知||f||_1≦||f-g||_1+||g||_1。

現在問題來了，我們得以控制||f-g||_1的大小，假若也能控制||g||_1的大小，使它任意
小(可能小於η的某個正數倍)的話，就可以得到||f||_1=0，也就是題目結果。

但是我想了半天就是不能將||g||_1與∫_Ω f．ψdx=0這個條件組合在一起。

所以想請高手能多提示一點，例如可以參考哪本書之類的，謝謝。

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K-ON Theorem:
けいおん！  =けいおん(けいおん-1)(けいおん-2)(けいおん-3)…
けいおん！！=けいおん(けいおん-2)(けいおん-4)(けいおん-6)…

唯:幹!這啥鬼?

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 140.113.178.13
推 pop36       :這題是用反證法~假設f不為0 in some open nbd
→ pop36       :then you could conclude that integral is not 0,
→ pop36       :which is a contraction.
→ k6416337    :樓上說的我還是不太懂
推 pop36       :ok.沒關係~那就照你的證法吧~當你要證明|g|很小
→ pop36       :你就必須用到那個積分等於零的條件