Re: [分析] 實變一題

[mathblue (o型魔羯男)]

※ 引述《FANggot (憨吉)》之銘言：
: Let E in |R be a measurable set with m(E) > 0. Prove that for any
: a < 1 there is an open interval I such that m(E intersect I) > a*m(I).
: 我嘗試著用反證或是直接建構I,但是一直不能得到那個不等式
: 這一題在老師上課的時候提到的,我想了好幾天還是想不出來.
: 在此懇請板友給一些提示或是想法 非常感謝

  如果用Lebesgue微分定理的話很快:

   Let f(x)=χ(x).
              E

  Then lim  ∫ f(y) dy/|I| =lim m(E∩I)/|I| = f(x) for a.e. x in |R.
       I->x   I             I->x

  這邊的I是以x當中心的interval.
  因為E的測度大於0, 所以上面的極限式會對某個一個x在E裡面成立.
  也就是說極限值1. 這樣的點稱為point of density. 接下來就不難證了.

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◆ From: 140.114.34.138
推 math1209    :-)