Re: [分析] 高微 台大95考古題 証 連續和極限存在與否

[tnndedward (給我多點時間)]

※ 引述《srewq (南瓜)》之銘言：
: 請教95年台大考古第二題
:  http://www.lib.ntu.edu.tw/exam/graduate/95/054.pdf
: 第二題 如下
:  Let f be a continuous real-value function on Ｒ such that the
:  improper Riemann integral
:                            ∞
:                          ∫ ︱f(x)︱dx converges.
:                           -∞
:                                          ∞
:  Define the function g on Ｒ by   g(y) =∫ f(x)cos(xy) dx .
:                                         -∞
:  (i) Must the function g be continuous ?
:  (ii) Can the limit  lim g(y) always exist ?
:                     y->∞

第一題用 dominated convergence theorem

令 h: (x,y) -> f(x)cos(xy)

則 x -> h(x,y) 與 y -> h(x,y) 都在R上連續

且對於所有y而言 ︱h(x,y)︱<= ︱f(x)cos(xy)︱<= ︱f(x)︱ 於R可積

因此 g 連續



第二題，答案是極限存在，而且趨近於零

令ε > 0

因為 ∫ ︱f(x)︱dx converges
                     ∞              -c
所以存在 c > 0 使得 ∫ ︱f(x)︱dx  + ∫ ︱f(x)︱dx <= ε/2
                     c               -∞
    c
又 ∫ f(x)cos(xy) dx -> 0    (Riemann–Lebesgue lemma)
   -c              y -> ∞

所以存在 y_0 使得任意 y >= y_0
  c
|∫ f(x)cos(xy) dx| <= ε/2
 -c
                 ∞               -c                c
故 |g(y) - 0| <= ∫ ︱f(x)︱dx  + ∫ ︱f(x)︱dx + |∫ f(x)cos(xy) dx| <= ε
                 c               -∞               -c

因此 g -> 0
       ∞

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◆ From: 93.17.39.178
推 JASS0213    :用LDCT是怎樣...開外掛嗎?
推 feynmankao  :我也覺得犯規了，開外掛...
推 plover      :高微用LDCT..
→ plover      :Riemann-Lebesgue Lemma也有開外掛之嫌 XD
推 LimSinE     :Marsden 有 Riemann-Lebesgue Lemma...
→ tnndedward  :soga XD，如何判斷哪些定理是開外掛 ?
推 smartlwj    :大概是看到有Lebesgue名字的都是吧 囧
推 srewq       :感謝解答!!