推 smartlwj :謝謝...我再努力試試 04/22 22:43
※ 引述《smartlwj (最後14天衝刺)》之銘言：
: http://www.math.nctu.edu.tw/admission/DOWNLOAD_FILES/exam_4/97_Analysis.pdf
: 第3題
: 這題的第一個小題
: 我令 E ={x: x in [0,1]}
: 然後對於任意的 a屬於R
: 想要去証明{ x :f(x) > a}是可測的
: 對於 a < 0 則 {f>a}=E 為可測
: 但是 a大於等於0的 我就不知道要怎麼處理了
: 第二小題的積分 我也不清楚要怎麼算 T.T
Check: for every finite a,
the set { x in [0,1] : f(x) ≦ a } is measurable.
(也可以證明 { f ≧ a }, { f < a }, { f > a }，爽就好了)
只要證明 a = 2^n (n = 0, 1, 2, ...) 的情況就好了.
因為小的傻傻的, 所以先看 a = 1 的情況.
f(x) ≦ 1 <=> "x 為有理數" or "x 為無理數且 x > 0.1"
<=> "x 為有理數且 x in [0,0.1]" or "x in (0.1,1]"
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measurable, 而且是零測度 measurable, 測度是0.9
兩個也沒有 overlapped，居然會對，Magic! 來看看 a = 2.
f(x) ≦ 2 <=> f(x) ≦ 1 或是 1 < f(x) ≦ 2
<=> "x 為有理數" or "x 為無理數且 x > 0.1" or
"x 為無理數且 0.1 > x > 0.01"
<=> "x 為有理數且 x in [0,0.01]" or "x in (0.01,1]"
看起來又是見證奇蹟的時候，magic!
一般情況看起來可以用 induction。
至於積分，就問天吧 ( (￣ (￣▽ (￣▽￣) ▽￣) ￣) )
沒有啦，f(x) 至少是Lebesgue可積的，
接著，f(x) 看起來就是 simple function，但不是 simple function
Let E_j = { x in [0,1]∩(Q^c : (0.1)^j > x > (0.1)^{j+1} }
for j = 0, 1, 2, ...
n
f_n(x) = Σ 2^j χ_{E_j}.
j=0
f_n(x)↗f on [0,1].
好像可以用 f_n(x) 逼近. 然後用 MCT: ∫ f_n -> ∫ f.
[0,1] [0,1]
不難算，大概是 9/8吧.
: http://www.math.nctu.edu.tw/admission/DOWNLOAD_FILES/exam_4/96_Analysis.pdf
: 第3題
: 這題...我不知道要怎麼用Fubini判斷...
小的建議直接算就好了
: 請指點一下 謝謝<(_ _)>
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