推 GSXSP :原來如此 有限維度的norm都是等價的 Cool~ 11/23 13:52
※ 引述《GSXSP (Gloria)》之銘言：
: 好像用等價來state會好很多， 之前的敘述爛爛的
: 所以是..
: " 定義好內積，使畢氏定理成立的norm都等價 "
: (可是這樣感覺好像太強，不太會對XD)
: math大是覺得..
: 有限維 => false
: 無限維 => true ??
: 怎麼怪怪相反的感覺@@ 不知道我有沒有誤會什麼
: 另外為什麼這樣是變成non-sense ?
我是這樣想的:
給定一個內積空間 H 其內積為 <‧,‧>. 則此內積可定義出一個 norm, ∥‧∥.
明顯地，我們有 Pythagorean Theorem:
<x,y>＝0 <＝> ∥x＋y∥^2 ＝ ∥x∥^2 ＋∥y∥^2.
問：如果存在一個新的 norm, ∥‧∥_1, 使得當 <x,y>＝0 時，滿足了 Pythagorean
Theorem, 即:
<x,y>＝0 <＝> (∥x＋y∥_1)^2 ＝ (∥x∥_1)^2 ＋(∥y∥_1)^2.
試問 ∥‧∥ 與 ∥‧∥_1 的關係？
以下是我的猜測：（就實際而言，我就假定 H 是 separable 的 Hilbert space.）
在有限維度裡頭，這兩個 norms, 是等價的。(對這個問題來說: non-sense.)
但在無限維度中我就"猜"
這兩個 norms 是不一定等價的。
NOTE. 至於何謂兩個 norms 等價? 是指存在 a, b ＞0 使得
a ∥‧∥ ≦ ∥‧∥_1 ≦ b ∥‧∥.
在分析學裡有一個基本定理：有限維度中的兩個 norms 均等價。
而在無限維度裡這就一定不是。
其實我也在困惑著畢氏定理能用在哪？
最後回應你前面提到的: 我是說有限維度會 non-sense, 因為這是有限維度必有的
事實：兩個 norms 是一定等價的 (與畢氏定理無關)！而無限維度卻…
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Good taste, bad taste are fine, but you can't have no taste.
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