推 a53285315 :應該沒問題了 謝謝 :) 01/18 01:16
※ 引述《a53285315 (娘)》之銘言：
: Prove or disprove the following state:
: Discrete metric space is complete.
: 我自己的証法是這樣
: Let (X,d) be a discrete metric space, and {x_n} be any Cauchy sequence in X.
: For any ε > 0, there exists an integer N > 0, such that
: n > N, implies d(x_n, x_n+k) < ε by Cauchy sequence
: And we have d(x_p, x_q) ＝ 1 , x_p ≠ x_q
: 0 , x_p ＝ x_q by discrete metric space
: Hence, d(x_n, x_n+k) ＝ 0
: i.e. x_n → p as n → ∞, p belongs to {x_n}
: Thus we can conclude that discrete metric space is complete.
: 我對這証明有問題的地方是在
: 由於 Cauchy 跟 discrete metric space 的性質
: 推論 d(x_n, x_n+k) ＝ 0
: 總覺得這邊好像怪怪的 可是又不知道該怎麼反駁自己
: 是我定義不夠清楚嗎? 還是這證明有錯呢?
: 還請大家不吝賜教 :)
其實你的證明應該沒有問題
如果想把概念搞清楚可以這樣想：
一個賦距空間「完備」就是說「所有柯西序列都收斂」
所以我們來找「所有的」柯西序列
先隨便挑一個ε，譬如 1/2
那麼我們發現一個柯西序列至少要滿足「尾項都一樣」
可是「尾項都一樣」的序列一定是柯西序列
所以「所有的柯西序列」就是「尾項都一樣的序列」
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