※ 引述《ericakk (我還記得)》之銘言：
: If X is an infinite set, then
: A = { E 屬於 X | E is cofinite } is an algebra but not σ-algebra on X
:
: 舉例:
: ∵ Any infinite set contains a countable infinite set.
: Now, X is an infinite set, we can choose a countable infinite
: subset A = { x_1, x_2, ... ...}
: x_1 屬於 X , x_2 屬於 X－{ x_1} ,
: x_3屬於 X－{ x_1, x_2},...以此類推...
: Let E = { x_2,x_4,....} = {x_2n | n=1,2,...}
: A_n = { x_2n}, n = 1,2,...
: ∞ _
: But ∪ A_n = E 不屬於 A (∵ E is not finite 且 E is not finite)
: n=1
: 看不懂黃色這個例子...可不可以講解一下..謝謝...^^
重新整理一下順序
任一無窮集合(不管可不可數), 你可以找到可數的子集合
然後例子就告訴你A這個可數子集合是怎麼取的
(當然每個 A_n = {x_n} 都是cofinite set)
現在特別把 A_2n 的部份挑出來看(其實沒什麼特別的)
每個都是A集合中的元素
明顯的, 任意有限個A_2n的聯集都會是cofinite
(其實只要A裡面隨便的元素就好,不用A_2n)
所以A是個algebra
但是 A_2n 的countable union等於E這個集合,顯然他不是cofinite
所以E不會是A的元素,所以A不是個σ-algebra
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