作者gp3gp3 (gp3gp3)
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標題[分析]if f(x)=f'(x) then存在一常數C s.t f(x)=Ce^x
時間Tue Apr 20 20:50:13 2010
題目如下：
Prove that if f(x) is a function from R to R such that
f(x)=f'(x) then there exists a constant C so that
f(x)= C e^x (題目完)
我是自己試了一下 如果設 (以下的c0,c1,c2,c3等等 指
c , c , c , c )
0 1 2 3
f(x) = c0 + c1x + c2x^2 + c3x^3 + c4x^4 + c5x^5 + · · ·
則
f'(x) = c1 + 2c2x + 3c3x^2 + 4c4x^3 + 5c5x^4 + 6c6x^5 + · · ·
比較係數 得
c1 = c0, 2c2 = c1, 3c3 = c2, 4c4 = c3, 5c5 = c4, 6c6 = c5, . . .
所以
c2 = c0/2, 3c3=c0/2, 4c4=c0/3‧2 ......
f(x) = c0 + c0x + (c0/2) x^2 + (c0/3!) x^3 +.....
= c0( 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + .....)
= c0 ‧e^x
不過題目並沒有說f(x)是多項式，所以我就不知道到底要怎麼證
課本是有證出 若f(x)=f'(x) 和 f(0)=1的話 那麼這個f(x)就一定是
e^x 不過不知道要怎麼用到這題上＠＠ 請教了 謝謝!!
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◆ From: 131.123.62.5
→ ntust661 :那一串就是 e^x 阿@@ 04/20 20:55
→ gp3gp3 :就是有證出 如果f(x)像我一開始那樣設 則可得到f(x) 04/20 20:58
→ gp3gp3 :=某常數乘上e^x但題目並沒說f(x)得是那樣的多項式@@ 04/20 21:00
→ gp3gp3 :所以我就不知道要怎麼證>"< 04/20 21:00
※ 編輯: gp3gp3 來自: 131.123.62.5 (04/20 21:01)
推 ntust661 :那你幹麻一開始就令多量是= = 04/20 21:02
→ ntust661 :多項是 04/20 21:02
→ suker :y'=y 用工數方式去解不就好了嗎? 04/20 21:05
→ suker :dx =(1/y) dy ==>lny =x+c , y=e^(x+c)=(e^x)(e^c) 04/20 21:08
→ suker :=(e^x)C 04/20 21:08
→ suker :這樣不是很簡單嗎y=f(x) 之後代 y(0)=1得C=1 04/20 21:13
→ gp3gp3 :就一開始不會做 隨便亂試>"< 04/20 21:13
→ gp3gp3 :懂了 謝謝～ 04/20 21:14