Re: [分析] 實變一題

[math1209 (人到無求品自高)]

※ 引述《smartlwj (認 真 念 書)》之銘言：
:                t      t_(n-1)   n    1
: Can   limsup  ∫ ... ∫        Π (-----) dt ....dt
:       t→+∞   0      0       j=1  1+t^3    n      1
:                                       j
: exist for all n \in N ?   Prove or disprove your answer.

 Proof. For n＝2, consider

            t     1         t_1       1
          ∫  -----------  ∫    ------------ dt_2 dt_1.                 (1)
            0 1＋(t_1)^3     0    1＋(t_2)^3

                      y     1
        Say G(y) ＝ ∫  ---------- dx, then (1) equals
                      0  1＋(x)^3
            t                                                      1
          ∫  G(t_1) d G(t_1) ＝ (1/2) {G(t)^2} by G'(t_1) ＝ ----------- .
            0                                                  1＋(t_1)^3
                                                 t
        For n＝3, we have the integral is (1/2)∫  G^2 (t_1) d G(t_1).   (2)
                                                 0

        (2) ＝ (1/3!) G(t)^3. Similarly, we have the form (1/n!) G(t)^n.

        Since the limit G(t) exists and is finite, say A, we finally get
        the limit is (A^n)/(n!).

NOTE. 台大 2004 年甄試碩士班入學考題…我跟蔡老大跟李老大一起想的…
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Good taste, bad taste are fine, but you can't have no taste.
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※ 編輯: math1209        來自: 220.133.4.14         (01/26 13:20)
推 Lindemann   :看不懂但是含淚推,我跟math1209大真是差太遠了@@
→ math1209    := = 除非是我寫錯了, 因為我只用了微積分基本定理.
推 Lindemann   :我實在是無法理解limsup t→+∞這種東西
→ Lindemann   :可能是因為我對測度的了解實在太少了(真的好想去念><
→ Lindemann   :後來我想去念這些是因為知道Grothendieck大學時代的
→ Lindemann   :故事,他獨自去用自己的方法重新定義長度,面積,體積
推 Lindemann   :畢竟等級還是不一樣的,人強環境不強照樣能發現古人的
→ Lindemann   :結果,雖然發展測度其實這也只是20世紀初的事情