[分析] Discrete metric space is complete?

[a53285315 (娘)]

Prove or disprove the following state:
        Discrete metric space is complete.

我自己的証法是這樣

Let (X,d) be a discrete metric space, and {x_n} be any Cauchy sequence in X.

For any ε > 0, there exists an integer N > 0, such that

        n > N, implies d(x_n, x_n+k) < ε       by Cauchy sequence

And we have    d(x_p, x_q) ＝ 1 , x_p ≠ x_q
                              0 , x_p ＝ x_q    by discrete metric space

Hence, d(x_n, x_n+k) ＝ 0

i.e. x_n → p  as  n → ∞,  p belongs to {x_n}

Thus we can conclude that discrete metric space is complete.


我對這証明有問題的地方是在
由於 Cauchy 跟 discrete metric space 的性質
推論 d(x_n, x_n+k) ＝ 0

總覺得這邊好像怪怪的 可是又不知道該怎麼反駁自己
是我定義不夠清楚嗎? 還是這證明有錯呢?

還請大家不吝賜教 :)

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 111.255.66.171
推 zombiea     :complete的意思是極限點都在原本的空間裡
→ zombiea     :取ε＝1/2, 發現這個chauchy seq 根本尾項都一樣
→ zombiea     :所以極限存在, 而且就是你的級數的尾項, 所以在X裡
→ zombiea     :你的論述中沒有提到p怎麼來的
→ a53285315   :我的p 是假設成數列收斂的值 因為項數夠多時
→ a53285315   :各項的差距都是零 所以等於是同一點 所以才任意假設
推 TaiwanFlight:你的証明到底在寫什麼？
→ TaiwanFlight:啥叫for any ε > 0 你是在寫證明還是在寫定義？
→ a53285315   :大概知道這論述該補充或修改什麼了 謝謝 :)
→ TaiwanFlight:要證明就直接給一個 ε = 1 阿
→ a53285315   :可是Cauchy 不是要對任意ε > 0 來做討論嗎?
→ a53285315   :所以才想說要用定義結合discrete 的性質做推論
→ a53285315   :對了 如果給ε = 1 那接下來要寫什麼 ... = =?
→ a53285315   :discrete metric space 耶 = =?