→ azter :-) 04/23 00:38
※ 引述《eggsu (數學一等兵)》之銘言：
: ※ 引述《plover (○(*￣中肯￣*)○)》之銘言：
: : 1. 使用定義來證。
: 試著用定義證：
: 設 a ≠ b，取 ε = |b-a|/2，則 |b-a| = 2ε
: 因 lim x_n = a，即存在自然數 N，使得當 n ≧ N 時，|x_n-a| < ε恆成立
: x→∞
: 故當 n ≧ N 時，|x_n-b| = |(x_n-a)-(b-a)| ≧ |b-a|-|x_a-a| > 2ε-ε=ε
: ↑
: 三角不等式：|a-b| ≧ |b|-|a|
: 此與 lim x_n = b 矛盾，即得前提假設 a ≠ b 不成立，得證 a = b █
: x→∞
For any given ε > 0, by assumption, we can find an m in N such that
|a_n-a|<ε/2 and |a_n-b|<ε/2 for all n≧m.
In particular,(as you did)by the triangle inequality,
|a-b|<(=)|a_m-a|+|a_m-b|<ε/2 + ε/2 = ε.
Since the choice of the positive ε is arbitrary, we get
|a-b| = 0,
hence a=b.
用說的: 根據數列收斂的定義,對任意長度而言,a 與 b 會跟該數列
某個特定的項接近到那個長度的一半.
(實際上,尾巴都會,但只要一項就夠)
而這樣一來,根據三角不等式
a 與 b 的距離會小於那個長度...........所以a=b.
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