[分析] 證明 compact sets are closed.

[LeeSeDol (嘖嘖...)]

 E為compact set, 欲證E為closed

                        ┌────────┐           c
                        │ E       q2 .   │          E
                        │  .q3           │
                        │                │     .p
                        │      .q1       │
                        └────────┘
                     c
 Rudin的證法是希望證E 為open:

  c
 E 內任取一點p, 可以存在 Na(q1) 交集 Na(p) = ψ      N 表 neighborhood

                         Nb(q2) 交集 Nb(p) = ψ
                                 .
                                 .
                                 .

                         Nx(qn) 交集 Nx(p) = ψ

Na(q1) ~ Nx(qn) 為 E 之 finite subcover

則令 N(p) =  Na(p) 交集 Nb(p) 交集．．．． Nx(p), 即得 N(p) 與 E 沒有交集
                    c
代表此 N(p) 包含於 E
    c                                c
故 E 內任一點 p, 都存在 N(p) 包含於 E
 c
E 為open => E 為closed 得證

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我的問題在於:

如果我們換一個問題

E 不是 compact set, 改成 E 是 open set

經由相同的證明過程如果能導出 E 是 closed set, 矛盾, 就表示證明過程有瑕疵

( 當然事實上做不到, 任取 open set 裡 finite 的 N(p) 不構成 subcover )

但括號裡的狀況又沒在原證明中解釋, 看來是作者覺得顯而易見

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有人可以證明黃色括號

或是 避開黃色括號的疑慮證明 compact sets of metric spaces are closed. 嗎?

感謝!


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 59.114.242.152
推 Serge45     :E只有open時，不見得做得到取finite subcover這件事
可能我語意有誤, 但其實您的意思跟我黃色括號想表達的是同樣含意

我的問題是難道這個情況有明顯到不需提及嗎?

課本寫到這時才介紹完compact set的定義,

closed/open 和 compact 之間的關係還未闡明

我想知道如何僅以closed / open / compact的基本定義推出證明

或者用定義交代出黃色括號成立

推 TaiwanFlight:E是open導出E是closed也不會矛盾阿
→ TaiwanFlight:兩者可以同時成立
嗯嗯... 沒矛盾 我想錯

推 Serge45     :Na(q1)~Nx(qn)是finite subcover就用了cpt的定義。
※ 編輯: LeeSeDol        來自: 59.114.242.152       (02/11 18:06)