不好意思我解錯了,竟然沒有人告訴我大家實在是太客氣了XD
還是版友EdmundLiu私底下跟我討論幾何問題我才發現我錯了>_<
因為我現在PDE也經嚴重弱化僅剩下考試能力(搞不好還沒有考高分的能力常算錯><)
還有這種二階quasi linear PDE用分離變數是一個解不出來的,必須用其他方法
比如說必須要用到特徵曲線characteristic line的方式,也就是比較"Lagrange"的PDE
就是找特徵方程式,然後PDE的解是和特徵方程式的交集
還有2維的PDE有特徵曲線的概念就很容易理解
為何D'Alembert波動有二個方向定義域是開放的
熱傳只有一個方向,高溫流向低溫,定義域是半開放的
Laplace方程沒有任何流動方向定義域是封閉
這個可以參考劉明昌的工程數學有精采解說(不過都跟考試無關XD)
好了言歸正傳,二階quasi linear PDE
A(x,y)u_xx + B(x,y)u_xy + C(x,y)u_yy = D(x,y,u,u_x,u_y)
2
他的特徵方程式 A (dy/dx) -B (dy/dx)-C = 0
這個推導其實有點冗長自己就去看劉明昌的工程數學或是PDE的專書吧
(1)
2
B - 4AC > 0 dy/dx有二個實根
dy/dx = f_1(x,y)
dy/dx = f_2(x,y)
解上式ODE可得
特徵曲線 ξ(x,y) = c_1
η(x,y) = c_2
令φ(x,y) = ξ
u (x,y) = η
代回quasi linear PDE
所以標準式 (canonical form) u_ ξη = H (ξ,η,u,u_ξ ,u_η)
(2)
2
B - 4AC = 0 dy/dx有重實根
dy/dx = f(x,y) 只有一條特徵曲線
特徵曲線 v(x,y) = c_1
另一條曲線可以取 u(x) = x, 或是取 u(y) = y
代回quasi linear PDE
2
所以標準式 (canonical form) u_ηη = H (ξ,η, u , u_ξ ,u_η)
2
B - 4AC < 0 dy/dx有共軛複根
dy/dx = f_1(x,y)+if_2(x,y) 沒有特徵曲線
令φ(x,y) = ξ+ iη
u (x,y) = ξ- iη
代回quasi linear PDE
2 2
所以標準式 (canonical form) u_ξξ+ u_ηη = H (ξ,η, u , u_ξ ,u_η)
所以 f(x) u_yy + u_xx = 0
2
特徵方程式 f(x)(dy/dx) +1 = 0
1/2
dy/dx = -[f(x) ]
先慢慢討論f(x)再用標準式即可留做習題XDDD([ 因為也沒給f(x)形式呀><)
解二
ax+by
令 u(x,y) = e 代入PDE
我不知為何任何齊性的好像這樣令一定都可以做?
有錯希望指正>_<
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.120.11.231