推 srewq :原來是要把coth展開處理 感謝 第一個方法等等試試 01/27 13:24
※ 引述《srewq (南瓜)》之銘言：
: ∞ １ π^2
: Σ ── = ---
: 1 n^2 6 這該怎麼證明呢?
: 今天複習複變時看到的
: 提示是用
: ∞
: Σf(N) = - (sum of the residues of πf(z)cot(πz) at the poles of f(z) )
: N=-∞
: f(z) is a rational function of the form P(z)/Q(z),where deg Q ≧ 2+deg P
: and there is no poles of f(z) occur at z=0, ±1, ±2, ......
: 題目有在提示說要想辦法處理f(z)=1/z^2 z=0 產生的問題
: 但是想了快兩個小時 總是想不到對的方法
: 能不能請大家用課本上寫的這個方法教我一下?
: 或者再給我一個提示
: 謝謝
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考慮矩形的 contour c
cot(πz)
∮ ──── dz 去解
c z^2
每個 pole 都是 order 1, 只有 z=0 是 order 3
cot(πz)
所以算 Res{ ──── , z=0} 時獨立出來解就可以 (用 Lauren series)
z^2
計算過程跟提示給的公式來源幾乎完全一樣
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不過有提示就嘗試用看看 OTZ
1
考慮 f(z) = ───── , m≠0
z^2 + m^2
所以
∞ 1 cot(πz)
Σ ───── = -πΣ Res{ ───── , p_k }
n=-∞ n^2 + m^2 k z^2 + m^2
1
where p_k: all poles of ─────
z^2 + m^2
cot(πmi) cot(-πmi)
= -π───── - π─────
2mi -2mi
cot(πmi)
= - 2πRe{ ───── }
2mi
πcoth(πm)
= ─────
m
∞ 1 1 πcoth(πm)
→ 2 Σ ───── + ── = ─────
n=1 n^2 + m^2 m^2 m
∞ 1 πm*coth(πm) - 1
→ Σ ───── = ───────── ____(1)
n=1 n^2 + m^2 2m^2
因此 ∞ 1 ∞ 1
Σ ─── = lim Σ ─────
n=1 n^2 m→0 n=1 n^2 + m^2
πm*coth(πm) - 1
= lim ───────── by (1)
m→0 2m^2
πm*[ 1/(πm) + (πm)/3 + O(πm) ] - 1
= lim ──────────────────────
m→0 2m^2
(πm)^2/3 + (πm)O(πm)
= lim ─────────────
m→0 2m^2
π^2
= ───
6
ps: O(z) 是 coth(z) 泰勒展開 z=0 的餘式項
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