[分析] 男女機率問題總整理（旅館問題、車羊問題）

[DreamYeh (天使)]

男女機率問題總整理（旅館問題、車羊問題）
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前言：
　　殷鑑於這類型的機率問題，每次都會引起廣泛討論，1/2派與1/3派爭
論不休，各堅持己見，甚至討論到失了理性。是故在此整理出個這類題型
的整理來與大家分享。

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命題：
　某戶有兩個小孩，已知＿＿＿＿，求_____機率有多少？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

解法：不需要用條件機率、貝氏定理等讓初學者搞不懂的東西
　1.假設小孩分別叫做Ａ、Ｂ，其中Ａ可指定為合乎任何條件的小孩，唯
　　獨不可"單純"認定他是男生或女生。
　2.列出所有狀況（或從Ａ男Ｂ男、Ａ男Ｂ女、Ａ女Ｂ男、Ａ女Ｂ女去除
　　不可能的狀況）
　3.直接計算合乎最後所求的機率

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題型一：（無指定）
　某戶有兩個小孩，已知其中一個為男生，求兩個都是男生機率有多少？

　解
　1.假設小孩分別叫做Ａ、Ｂ
　（誤解：假設那個男生叫做Ａ->不行！因為規則是不可認定他是男生或
　　　　　女生）
　2.所有狀況為
　　a.Ａ男　Ｂ男
　　b.Ａ男　Ｂ女
　　c.Ａ女　Ｂ男
　3.合乎最後所求的狀態為a.，因此機率就是1/3
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題型二：（指定）
　某戶有兩個小孩，已知長者為男生，求兩個都是男生機率有多少？　

　解
　1.假設長者叫做Ａ（這樣假設就可以，雖然我們知道這樣會導致知道Ａ
　　男的結論，但是合乎解法規則）
　2.所有狀況為：
　　a.Ａ男　Ｂ男
　　b.Ａ男　Ｂ女
　3.合乎最後所求的狀態為a.，因此機率就是1/2
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類似題型：
　某戶有兩個小孩，去拜訪這戶，來開門的是男生，求兩個小孩都是男生
　機率有多少？　
　
　解
　1.假設來開門的叫做Ａ，其餘同題型二推理，答案就是1/2
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開始讓你混亂的問法：
1.某戶有兩個小孩，已知其中一個為男生，請兩個都男生機率是..
2.那個男生我知道叫做小明，請問兩個都是男生機率是...

1答案是1/3，2答案是1/2，因為後者可以指定小明為Ａ

有人會問只是知不知道名字會差這麼多？沒錯！因為已經「指定特定對象」


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繼續混亂吧！

[討論] 這種筆試題目不容易　討論串問題：
命題：小明過年期間去拜訪許久沒見面的同學，聽說同學
　　  已經生了兩個小孩，進門後小明看到朋友其中一個小孩
　　　是男生，請問，另一個是男生的機率為多少？

已經有「指定特定對象」，亦即我們可以假設「看到的那」是Ａ，依照題
型二算出結果為1/2

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但是稍微改一下題目就能讓機率又變1/3...
　　　小明過年期間去拜訪許久沒見面的同學，聽說同學
　　  已經生了兩個小孩，同學跟小明說：「其中一個小
　　　孩是男生」，請問，另一個是男生的機率為多少？
這時候已經無法指定(再度強調不能單假設Ａ為男)，所以機率是1/3...

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玩弄一下文字遊戲...

　　　小明過年期間去拜訪許久沒見面的同學，聽說同學
　　  已經生了兩個小孩，進門後小明看到朋友兩個小孩
　　　，他喃喃自語說：「其中一個小孩是男生..另個太
　　　小分不出來」，請問，另一個是男生的機率為多少？

還是1/2！因為可以假設他看到、且分出性別的那位是Ａ

　　　當他跟別人口述這個事件時候...
　　　小明：「我昨天去同學家玩，兩個小孩我都看到了，但我只分得出
　　　　　　　其中一個小孩是男生..」
另一個小孩是男生機率還是 1/2～他講的其中一位是男生已經被指定為他
看得出性別那位。

　　　換成看似一樣的口述
　　　小明：「我昨天去同學家玩，兩個小孩我都看到了，其中一個小孩
　　　　　　　是男生..」

另一個小孩是男生機率變成 1/3！因為他說其中一位時候，並沒有指定是
說哪位。當然你可以說，都已經看到兩位了，怎麼會不知道「其中一個」
是指哪一個，這就是文字遊戲問題了。

以樣本空間的概念，就是要多考慮個Ａ男Ｂ女、Ａ女Ｂ男情況。

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類似的、但比較好懂的命題：

　投擲一萬次硬幣

　題型一：（無指定）
　「其中至少有9999次都是正面！」（那全是正面機率有1-1/10001）
　
　題型二：（指定）
　「前面投了9999次正面！」（那第一萬次是正面的機率仍只有1/2）

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類似應用問題：

曾讓puzzle吵一大串的旅館問題：
  有三間房間,其中有一間有兩個男人進去,此外有一間有兩個女人進去
  剩下的房間有一對男女進去.當然哪些人進去哪間房間是不知道的
  在房間內作什麼事也不知道  但服務生敲其中一間房間門時
  裡面的女性聲音說:"不知道是誰來了!你去開門!"
  請問  這個開門的人  是男性的機率是多少?

 1/2派想法：服務生只可能是去女女、男女兩間之一，機率就是1/2
　　　　或：依照題意男女各半、開門的與出聲的是不同事件，所以出來
　　　　　　是男性的機率就很單純是1/2

 1/3派想法：服務生可能去的女女、男女兩間之一，但狀況分別有去女女
　　　　　　間然後Ａ女開門、去女女間然後Ｂ女開門、去男女間然後女
　　　　　　生出聲男生開門，所以機率是1/3

　用上面解法出問題：
　假設房間裡面的分別為Ａ、Ｂ，指定Ａ為出聲
　所有狀況為：
　選到男女間：Ａ女Ｂ男
　選到女女間：Ａ女Ｂ女　因此機率是1/2....？

　錯了！因為情況不同，現在是先選房間再敲門，但是當你選到女女間時
　候，你不知道出聲的Ａ是那個女生～也就是又回到題型二、無法指定狀態

　正確的所有狀況應該是：
　同樣指定出聲的是Ａ
　選到男女間：　Ａ男　Ｂ女
　選到女女間：　Ａ女1　Ｂ女2
　　　　　　　　Ａ女2　Ｂ女1
　　
　因此答案依舊為1/3　

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還是類似問題，極著名的車羊問題：
　
　主持人跟你玩個遊戲，他帶你到三道門前面。他告訴你，其中兩道門後
　面是羊，一道門後面是名車，你選擇其中一道門，若選到車子那道門就
　可以拿到價值百萬的名車。

　你算一算，拿到車機率是1/3...這時候你選擇一道門了。

　主持人卻笑著去開啟剩下兩道的其中一道，開啟的那道門慢慢地走出一
　隻羊，他知道哪道門後面有羊並故意去開啟那道門－現在剩下你選的那
　道門，還有一道關起的門。

　主持人現在給你個機會，讓你選擇是否要改變選哪道門，但若想改的話
　須付10美金，請問你是否要選擇更換呢？


　直覺想法：主持人雖然開一道門，但是這跟你選擇的門沒有關係，你選
　　　　　　任一道拿到車機率都一樣是1/3，那何必還要付10美金換呢？

　機率式的想法：
　三道門分別假設為ＡＢＣ，假設我選擇為Ａ，剩下兩道為Ｂ、Ｃ
　一開始可能狀況為
　狀況一：Ａ車Ｂ羊Ｃ羊
　狀況二：Ａ羊Ｂ車Ｃ羊
　狀況三：Ａ羊Ｂ羊Ｃ車　三種機率都是1/3

　狀況一：主持人可選擇開Ｂ、開Ｃ
　得狀況一a.Ａ車Ｂ羊(機率1/6)　這時候不換比較好
　　　　一b.Ａ車Ｃ羊(機率1/6)　這時候不換比較好
　　狀況二、主持人只能開Ｃ（1/3）　換比較好
　　狀況三、主持人只能開Ｂ（1/3）　換比較好　

　因此換的狀況下，拿到車的機率高達2/3，當然是要換了！

請參考
　http://w3.nctu.edu.tw/~u9112035/java/door.htm

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　這跟我們剛剛討論的問題有什麼相似之處呢？

　假設這題改成：「主持人隨機去選擇一個門、門後面跑出一隻山羊」，
　那換不換機率就會變成一樣了！為什麼？因為他無論選擇剩下哪一道，
　跟你的選擇就沒有關係了！

　這就跟剛剛「是否已經指定哪個小孩為男生」一樣，這邊同樣就是「是
　否主持人已經指定是開哪道門」

　等同題型一：（無指定）
　主持人在「無指定」下開了一扇有羊跑出來的門，等同告訴你：「你沒
　選擇的剩下兩道門至少有一道門裡面是羊」

　也許你有疑問，為何不是「指定主持人選擇是Ｂ？」，別忘了主持人是
　「故意選擇」一扇會跑出羊的門，這就跟前面說不能指定男生為Ｂ一樣
　，以已知結果作為前提假設的選擇是不合規則的～

　等同題型二：（指定）
　主持人隨機選擇一道門，那你可以假設他選的門是Ｂ、你選的是Ａ，你
　們兩個的選擇沒有任何關聯。至於他選的門開出羊，那也是個隨機結果
　，就跟前面說「已知之前投出100個硬幣正面」一樣，絲毫不影響你結果
　呢！


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以上都是相似機率問題的總整理，這類問題常常都可以戰一整個板面，是
故提出一個總整理給大家參考。

當然我知道很有可能懂得人還是懂，不懂還是不懂。為了能讓更多人理解
，敝人也會隨時提供討論觀點，有賴跟大家多討論、彼此學習了！


　














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                    —    請多指教喔!!
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 60.251.192.93
→ doom8199    :你一開始的 題型一　就有問題了
→ doom8199    :還是老話一句，你的 "另一個是男生"
→ doom8199    :另一個　是相對誰?
→ doom8199    :再來 題型二 也是跟 題型一　一樣語意不清
→ doom8199    :若這個另外一個 的"另外" 是相對於長者
→ doom8199    :或是相對其他人，即使答案一樣，解法也會完全不一樣
→ DreamYeh    :那就改成"求兩個都是男生機率"吧　會比較清楚嗎@@?
→ doom8199    :阿災XD  我不知道您想表達怎麼樣的取樣條件
→ DreamYeh    :那就改成兩個都男生的機率吧...語意似乎會清楚點
推 doom8199    :我覺得題型二改成 "看到" 會比較好
→ doom8199    :阿，抱歉，不用改好像也沒差
→ DreamYeh    :恩　"看到"也是指定的方法
→ doom8199    :另外投硬幣那題答案應該是  1/10001
※ 編輯: DreamYeh        來自: 60.251.192.93        (01/15 16:54)
→ DreamYeh    :1/10000吧@@?
→ doom8199    :若是 正面定為 a、反面定為 b
→ doom8199    :所有可能是 9999a1b + 10000a , 共 10001種可能
→ doom8199    :滿足 10000a 的只有 1種，所以是  1/10001
→ doom8199    :若有 n個硬幣，題型一　的答案就會是 1/(n+1)
→ doom8199    :你套 n=2 的 case , 就會是 1/3派的人一值堅持
→ doom8199    :答案為 1/3 的主要原因
推 hectorhsu   :"已知其中一個為男生"的意思是至少一個才有差
→ hectorhsu   :演變成懂的人互相以為對方不懂  真麻煩~@@
※ 編輯: DreamYeh        來自: 60.251.192.93        (01/15 17:14)
推 hectorhsu   :1/10001
→ doom8199    :1-1/10001 的意思是 "已知有9999枚硬幣是正面，
→ doom8199    :請問 這1萬枚硬幣中，恰好有9999枚硬幣是正面的機率"
→ hectorhsu   :那邊"以已知結果假設不合規則"很怪
→ doom8199    :那個已知有  改成 "已知至少有"
→ hectorhsu   :因為這樣你就去改了原本的題目..
推 hectorhsu   :如果沒加那句主持人知道  大家還是說要換
→ hectorhsu   :節目裡主持人不會特地跟你說它知道
→ hectorhsu   :你就看到的現象判斷並沒有差別  再想想吧= =
→ hectorhsu   :一直教這些很無聊耶 Orz
→ DreamYeh    :恩　但是主持人如果是隨便去開跑出羊　答案會不同..
→ hectorhsu   :XD 開心就好
→ hectorhsu   :那請問若你不知道主持人知不知道  你選哪個:p
→ hectorhsu   :that's all
→ DreamYeh    :那種情況...如果他知道就可提升到2/3 不知道的話頂多
→ DreamYeh    :賠10美金..所以還是換XDD...
推 hectorhsu   :........
推 akimkim     :整理的很好
推 euphrate    :寫program run就不用戰了麻 ~
→ terrorlone  :樓上太天真了。要是真那樣早在 18656 就已經停戰了
→ tw00088437  :18657 && 18663在哭
→ evilkiss    :很多程式了   但跳針的人依然在跳
→ evilkiss    :不過不得不推這篇   整理的很好
→ marxOO      :簡單的說1/2跟1/3的差別在於限不限定開門後看到的
→ marxOO      :那個狀態是不是看到男生.1/3=限定 1/2=不限定