Re: [分析]if f(x)=f'(x) then存在一常數C s.t f(x …

[math1209 (人到無求品自高)]

※ 引述《gp3gp3 (gp3gp3)》之銘言：
:  題目如下：
: Prove that if f(x) is a function from R to R such that
: f(x)=f'(x) then there exists a constant C so that
:  f(x)= C e^x (題目完)
: 我是自己試了一下 如果設 (以下的c0,c1,c2,c3等等 指
: c   ,  c  ,   c  ,  c     )
:  0      1      2     3
:  f(x) = c0 + c1x + c2x^2 + c3x^3 + c4x^4 + c5x^5 + · · ·
: 則
:  f'(x) = c1 + 2c2x + 3c3x^2 + 4c4x^3 + 5c5x^4 + 6c6x^5 + · · ·
: 比較係數  得
: c1 = c0, 2c2 = c1, 3c3 = c2, 4c4 = c3, 5c5 = c4, 6c6 = c5, . . .
: 所以
: c2 = c0/2,  3c3=c0/2, 4c4=c0/3‧2  ......
: f(x) = c0 + c0x + (c0/2) x^2 + (c0/3!) x^3 +.....
:      = c0( 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + .....)
:      = c0 ‧e^x
: 不過題目並沒有說f(x)是多項式，所以我就不知道到底要怎麼證
: 課本是有證出 若f(x)=f'(x) 和 f(0)=1的話  那麼這個f(x)就一定是
:  e^x     不過不知道要怎麼用到這題上＠＠   請教了  謝謝!!

基本上，許多該說的都被 plover 老大說的差不多了…我有一些看法寫在下頭：

對於 y'＝ y 這件事，我們的確可以使用 MVT (就是 plover 老大說的). 即採用 e^-x
的輔助幫我們去瞭解 y ＝ c e^x. 這裡我們視為方法一。

至於方法二的分離變數法，即所謂的"上帝歸上帝，凱薩歸凱薩". 考慮 dy/y ＝  dx
有人會質疑分母 y 是否為零的疑慮，這點可以使用 Gronwall inequality 去克服。
這我們稱為方法二。[有需要再談…]

現在，我們來考慮 Taylor Theorem (具備餘項) 來看。此處會比較接近你的想法：
為了討論上的需要，我們先限定函數 f 限定在 [-a,a]. 之後，我們會看到為什麼要這樣
限定。寫
              n                                n
     f(x) ＝ Σ  {f^k (0)/k!}x^k ＋ R_n(x) ＝ Σ  {f(0)/k!}x^k ＋ R_n(x) (＊)
            k＝0                             k＝0
此處
                 f^(n＋1)(c)                  f(c)
     R_n(x) ＝ ------------- x^(n＋1) ＝ ------------- x^(n＋1)
                   (n＋1)!                  (n＋1)!

於是，易知 R_n(x) → 0 as n → ∞, 此處因為 x 被限定在 [-a,a] 中。這也就是說
(＊）告訴我們在 [-a,a] 裡，

         ∞
f(x) ＝  Σ  {f(0)/k!}x^k ＝ f(0) e^x. 接著，由於 a 任意，我們最終得到了
        k＝0

假使 y'＝ y, 則 y ＝ c e^x, 其中 c ＝ f(0). 這我們稱為方法三。

NOTE. 或許我們會問，為何在方法一裡頭會猜出 "e^-x",  這有一些想法：例如可以根據
      方法二中的分離變數法，猜測出答案後再反推。但對微分學有基本認知的人們都應
      該會瞭解一個函數的導函數為其本身，那這函數應該跟 e^x  有關係。藉由加加減
      減易猜測方法一中的 e^-x. 此外，若用量剛分析來面對：y' ＝ y 意味著 y 自身
      並無量剛，而無量剛這件事就告訴我們除了三角函數外就是 e^x 或 log x.  而我
      們會更易猜出  "e^-x".

      方法三也適用於其他情況，不過我還得強調一點：方法一用了 MVT, 而需切記的是
      整個單變數的微分學幾乎環繞在 MVT 而發展的 ，因此我們回憶一下方法三的方法
      事實上是 MVT 的應用，即 Taylor Theorem (具備餘項) 是 MVT 的結果。不過，
      這樣講-指" Taylor Theorem (具備餘項) 是 MVT 的結果 "並不妥善，因為這兩個
      定理 [指 MVT 與 Taylor Theorem (具備餘項)] 是等價的!

      關於這個命題有許多推廣與變態的習題，我們需掌握的是基本精神為：

                 "單變數的微分學幾乎環繞在 MVT 而發展的…"

      ....不知不覺又講了一堆 =.= 就這邊結束好了。

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Good taste, bad taste are fine, but you can't have no taste.
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※ 編輯: math1209        來自: 114.32.219.116       (04/26 02:12)
推 THEJOY      :好文!!先推
→ THEJOY      :小弟有疑問，為啥指對數和三角函數無量綱？
推 THEJOY      :對於量綱的了解還停留在"單位"上面,物理好像常用到?
→ math1209    :你可以上中研院數學所網頁找最近林琦焜教授寫的
→ math1209    :量剛分析.
→ math1209    :忘了說了:數學傳播.
→ jack7775kimo:推阿焜XDD
推 goodGG      :讚啦 :)
推 peicachu    :竟然看到林琦琨的名字,只能給推了:D
推 hcsoso      :看到量綱分析，推一個！
※ 編輯: math1209        來自: 114.32.219.116       (04/30 18:41)