※ 引述《jimlucky (......)》之銘言：
: f:[0,1]-->R be an increasing function
: Can f be Lebesgue measurable ?
: Can f be Lebesgue integrable ?
對問題 (1) Can f be Lebesgue measurable ? 你可以用定義著手 (A),你也可以使用
上半連續 (upper semi-continuity, B), 甚至可以使用 LDCT (C).
NOTE.
(A) Avner Friedman, Foundations of Modern Analysis. Dover Publications, Inc.
New YorK, 1982, pp. 64-65.
(B) Richard L. Wheeden, and Antoni Zygmund, Measure And Integral (An Intro-
duction to Real Analysis. Marcel Dekker, Inc. 1977, pp. 55-56.
(C) Richard L. Wheeden, and Antoni Zygmund, Measure And Integral (An Intro-
duction to Real Analysis. Marcel Dekker, Inc. 1977. Exercise. 9, Chap.4,
p. 62.
對問題 (2), 則顯得單純了。因為 f 為可測函數，f 的可積性與 |f| 的可積性等價。
又因 |f| 有界，就結束了。留心到: f 為可測函數得條件絕對不可省…否則上述等價
陳述將不成立。例: 命 P 為 [0,1] 上之不可測集，則 |f| 可積，但 f 並不可積。
f(x):＝ 1 if x in P
＝-1 if x in [0,1]\P.
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Good taste, bad taste are fine, but you can't have no taste.
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