Re: [分析] 常微分方程

[Egriawei (3分天鳳姬7分靠己)]

※ 引述《ChienLun (Yu)》之銘言：
: Show that the origin for the equation
: y" - (2 + sin(t))y = 0
: is an unstable steady state.
: 裡面的 Hint : Choose a suitable functional.
: 感覺 hint 是要找 Liapunov function
: 但是 Liapunov function 是用在 x'=f(x), 而沒講過用在 x'=f(x,t) 的情形,
: 請問該如何起頭呢?
我是做振動的
Liapunov function 我知道但不是很熟
誠如你所說我也不知道x'=f(x,t)可不可以用

以物理意義簡單來說
這系統順時特徵方程之特徵值是正的
或者說說有個供能元件持續供能
y當然會爆掉

以phase plot來解釋

另 z = dy/dt
因 (dz/dt)/(dy/dt) = (dz/dy)
則 y" = dz/dt = (dy/dt)*(dz/dy) = z*(dz/dy)

故 dz/dy = (2 + sin(t))y/z
-> zdz = (2 + sin(t))ydy
-> z^2 = (2 + sin(t))y^2+c(t)
-> z^2 - (2 + sin(t))y^2 = c(t)
中心點為原點(0,0)
依初使條件求c(t)
順時軌跡將延一時便雙曲線
而軌跡恆遠離原點故unstable

這樣解釋不知道可不可以

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◆ From: 220.136.84.30
推 Lindemann   :推
→ ChienLun    :z^2=y^2 * (2 + sint(t)) + c   這好像寫錯了?
※ 編輯: Egriawei        來自: 118.168.203.211      (02/06 23:55)
→ Egriawei    :改了,其實我覺得也有點怪,有請高人再指點一下
推 doom8199    :ODE降階好像不能這樣算 OTZ
→ doom8199    :令 z = y'/y , 可以把ODE改寫成 -z' = z^2 -(2+sint)
→ Egriawei    :姆...我只是照著畫phase plot的方法做而已orz
→ Egriawei    :積分的部分還請幫忙看看有沒有問題
→ doom8199    :最後那個算法是只有當 z、y視 t為常數時才成立
→ doom8199    :若把最後那個式子左右對 y做全微分
→ doom8199    :應該是無法還原到一開始的 ODE
→ ChienLun    :對 t 微分,差了一個 -cos(t)*y^2
→ Egriawei    :嗯嗯...不過暫時不知道該怎麼改