Re: [分析] Baire Category Theorem

[math1209 (人到無求品自高)]

※ 引述《tsaihohan (有人想一起下圍棋嗎)》之銘言：
:         We say that a closed subset C of a metric space X
:         is nowhere-dense if and only if C contains no non
:         -empty open subset of X. Prove the Baire Category
:         Theorem: When X is a complete metric space, there
:         does not exist a countable collection
:         {C_γ包含於X：γ屬於Ν} of nowhere-dense closed subsets
:         of X satisfying X = ∪C_γ, γ屬於Ν.

這個證明可以在泛函分析或者實分析書籍裡找到。因此，證明就不去補了…關於 Baire
category Theorem 以下有些基本概念是得知道的，節錄於下。此外，還有更進一步的說
明，但這些份量就很重了，有必要我再寫…

                         (1899, Baire Theorem)

(閉集合) 命 F_k 為 |R^n 之閉集。若對所有 k, int(F_k)＝ψ, 則 int(∪ F_k)＝ψ.
(開稠集) 命 G_n 為 |R^n 之開稠集，則 ∩G_n ≠ψ.

NOTE. 兩定理為等價性定理。於證明過程裡，易知 ∩G_n 不僅非空而且稠密。

(0) 命 X 為完備之度量空間。若 G_n 為開稠集，則 ∩G_n 於 X 上稠密。

(1) 命 X 為完備度量空間。若 C＝X\S, 其中 S 為 1st category, 則 C 於 X 上稠密。

NOTE. 通常此稱為 Baire Category Theorem, 簡記為 BCT. 此外，(0) ＜＝＞ (1).

(2) 任何非空之開集合於完備空間中，必定為 second category. (由 (1) 顯然). 故任
    何完備性之度量空間皆為 second Category.

NOTE. 命 X 為完備之度量空間。

(a) Let S be of the 1st category ＝＞ S^c is dense in X. [BCT]
(b) Let S be of the 1st category ＝＞ S^c is of the 2nd category. [Cor of BCT]

(Density is not equivalen to 2nd. For example, S^c ＝ nonempty open set, it
 is not dense. And S^c ＝ Q is dense, but not 2nd.)

(3) BCT 可證明出 Open Mapping Theorem, 以及 Uniform Boundedness Principle 等相
    關重要的定理。

(4) 實例：

(a) 不存在一函數 f 定義於緊緻區間上，使 f 於其上之無理點不連續且有理點連續。

(b) 不存在一(實值)函數 f 定義於緊緻區間上，使 f 於每一點皆上連續但處處不連續。

(c) 有理數集合不為 G_δ set. (也可用 Cantor intersection theorem 證明之).

(d) 連續函數之序列定義於 compact interval 或 |R 上的極限函數 f，其 f 的連續點集
    必稠密。

(e) 由 (d) 可知：若一函數 f 定義於 compact interval I 上，且 f' 存在於 I. 則
     C：＝{x: f' is continuous at x} is dense in I.

(f) (C[a,b],∥．∥_∞) The set of all functions which are continuous on [a,b]
    and nowhere differentiable on (a,b) is of second category.

(g) X ＝ C^∞ under some metric d will make (X,d) complete. Then
    {nowhere analytic functions} is of second category.

                       ∞          1        (n)    (n)
    此處的 d (f,g)：＝ Σ  min ( ----- , ∥f   －  g  ∥_∞).
                      n＝0        2^n
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Good taste, bad taste are fine, but you can't have no taste.
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推 Lindemann   :推一下,m大真強也讓我燃起自己念實變的動力XDD
→ math1209    :實變只是瑣碎的事情比較多而已...別想的太難...
→ Lindemann   :其實大學會想念實變是因為我真的對高等機率論有興趣
推 Lindemann   :這在了解布朗運動很有用說,而不是因為真正喜歡實變XD
→ Lindemann   :我覺得扎實是很重要的,我大學高微並沒有做很多習題><
→ Lindemann   :以致於實變幾乎都聽不懂,我覺得唸書扎實才是最重要的
→ Lindemann   :這一點大概math1209大是我們的典範:)
→ Lindemann   :打錯不是大概啦,是絕對XDD
推 tsaihohan   :參拜XDDD
推 k6416337    :強著推一個!
推 ths66323    :深受學長啟發!
※ 編輯: math1209        來自: 114.32.219.116       (05/06 10:06)