推 CNSaya :Good! 03/21 08:01
推 math1209 :-) 03/22 16:06
推 Lindemann :推ㄧ下,非常謝謝您的精采解說^^ 03/22 17:14
※ 編輯: ppia 來自: 125.231.224.248 (04/10 22:30)
※ 引述《Lindemann (該閉關了>_<)》之銘言：
: 當初念實變我一直有一個最關鍵的疑惑沒搞清楚(現在有點懶的去唸了)
: 就是為何Lebesgue積分要對y軸切呢???? 為何這樣子就是一個偉大的革命呢?
: 我是大概印象中Cantor set或是Dirichlet 函數因為有理點測度是0(可以算出來)
: 但是為何切y軸可以解決這個Dirichlet 函數積分問題
: n年前我有問過我好友,他是說站在y軸來看那些有理點都不見了,這樣對嗎?????
: 說到Lebesgue積分,據說Lebesgue是一個很會教書說故事的人
: 我不知道現在數學系的人還有沒有再說這個笑話(我記得那時候老師有說啦XDD)
: 好像Lebesgue的意思是說
: 如果我要數我口袋裡的硬幣,Riemann先生是一個一個掏出來的
: 而我是先把 1 元 5元 10元 50元 分類在去數,這樣子就很容易理解Lebesgue積分
: 為何這種數法是一個偉大的革命呢????
切y軸並不是Lebesgue積分的特性，
Lebesgue和Riemann積分最大的差別在於前者認可的可測集/函數較後者多。
相對於Lebesgue可測集，Riemann積分也對應有Jordan可測集：
Definition:
A bdd subset S of |R is Jordan measurable iff
χ_A is Riemann integrable iff m^*(A)=m_*(A),
where m^* and m_* are the outer and inner Jordan measures, respectively.
而我們有:
Theorem:
A bounded function f defined on [0,1] is Riemann integrable if
f^-1([a,b]) is Jordan measurable for any [a,b].
而其Riemann積分值也可以仿造所謂的切y軸法定義。
Jordan可測集在有限聯集交集下封閉，其測度也有可加性，但是在無限聯集交集下就
不一定封閉，這就是Riemann積分理論的弱點：可積性無法pass limit。
比如說，我們把[0,1]中的有理數排序r1,r2,r3,...，令A_n={r1,r2,...,rn}，
∞
{A_n}是一個遞升的Jordan可測集序列，但是 U A_n 並非Jordan可測。
n=1
這是從measure-first formulation的角度來說，從另一種integral-first formulation
的角度來說 Lebesgue積分的完備性(L^1空間的完備性)幾乎是顯然的：
要定義|R上的Lebesgue積分，我們先選某一些比較簡單、其積分值比較好定義的函數，
這些函數可以是定義在有界集上的階梯函數、或分段平滑函數、或連續函數、
或Riemann可積函數。這些「基本函數」在線性組合和order operations下封閉，
但在極限下不封閉，也就是說 f = lim f_n a.e. 並不能保證f也是基本函數。
這也就促使我們做某種completion：把這些極限函數都收進來，用lim∫f_n來定義
f的積分值。但是為了使積分值的定義不隨數列而變，我們必須對函數列作更強的要求：
For any ε>0, there correspond some N such that
∫|f_m-f_n| < ε, whenever m,n > N.
這也就是說：一開始的基本函數空間在L^1 norm下不完備，
我們幾乎處處逐點收斂的科西基本函數列來做完備化，所得到的這些函數稱為Lebesgue
可積函數。至此，Beppo Levi Theorem, Lebesgue Dominated Convergence Theorem
都會成立，利用這兩個定理我們知道：如果現在又把Lebesgue可積函數當作新的
基本函數，再跑過上面完備化的過程一遍，我們並不會得到更多的函數，
這也是我們所預期的事。
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※ 編輯: ppia 來自: 125.231.216.245 (03/20 21:35)