噓 peter308: 第一次想噓馬英九 03/19 20:17
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◆ From: 140.113.178.13
※ 編輯: k6416337 來自: 140.113.178.13 (03/21 23:37)
※ 引述《gp3gp3 (gp3gp3)》之銘言：
: 題目如下： Find f(x) if
: x 2x
: ∫ f(t)dt = ∫ f(t)dt for all x in R
: o o
: and f(x) is a continuous function.
: 觀察f(x)=0 的話，原等式會成立。但不知道要怎麼真的去算，
: 及有沒有其他的可能＠＠
: 我是這樣算的
: x 2x x 2x
: ∫ f(t)dt = ∫ f(t)dt = ∫ f(t)dt + ∫ f(t)dt
: o o 0 x
: 2x
: 所以得到 ∫ f(t)dt = 0 -----------（A）
: x
: 然後就不知道了 看最後一個等式 也沒辦法用
: Fundamental theorem of calculus 去微他而得到f(x)呀＠＠
: 先謝謝了！!
: -------------------(後來寫的) 我大概想到了（不確定對不對＠＠）
: 已知 (A)成立的話 除了f(t)=0 否則是不可能的 理由如下
: 如果f(t) 都是正的 x隨便取個不是0的數 就是個counterexample
: 如果f(t) 都是負的 x隨便取個不是0的數 也是個counterexample
: 如果f(t)有正有負 假設f(t)在0附近有正有負（若f(t)在0附近
: 都是正或都是負就可用上方的情形）不管正負如何急遽變化
: 只要是連續函數 便可以找到很小的正x
: 使得f(t)在x到2x間都是正的 或都是負的 這樣（A）是不可能為0
: 所以f(t)只可能為0了
: 不太肯定的地方是 我這裡有用到極限（x趨近於0+）所以不知道
: 會不會因為沒注意細節而錯誤 先謝謝大家提醒
不知道這樣行不行
Claim:f≡0
By Fundamental Theorem of Calculus,f(x)=2f(2x) (*). Replacing x with 2x,we get
f(x/2)=2f(x) and so (2^n)f(x)=f(x/(2^n)) (**) for all positive integers n.
We set x=0 on (*) and then f(0)=2f(2×0)=2f(0) => f(0)=0.
Suppose that f(x)≠0 for some real number x.W.L.O.G.,let f(x)>0.
By (**),f(x/(2^n))>0 for all n.
Since x/(2^n)→0 as n→∞ and f is continuous on |R,f(x/(2^n))→f(0)=0 as n→∞.
On the other hand,by (**) again,(2^n)f(x)→∞ as n→∞,→←.
Thus,f(x)≦0.
If f(x)<0,we can repeat the argument above again with f(x) replaced with -f(x).
So f(x)=0.
Since x is arbitrary,our claim is proved.
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作者 takuson (Who am I?) 看板 Gossiping
標題 [新聞] 〈快訊〉大陸血漿開放來台！ 綠委批美牛翻版
時間 Fri Mar 19 20:13:58 2010