作者ppia ((= =))
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標題Re: [分析] Lebesgue 可積分的定義
時間Fri Mar 19 22:29:24 2010
※ 引述《wuxr (wuxr)》之銘言：
: 請教各位先進
: 就是為什麼在談一個函數 f 在可測集 E 上 是不是 Lebesgue 可積分
: 為什麼要分別看 f的正部 負部 是否可積 ( ∫_E f+ <∞, ∫_E f-<∞).
: 我曉得這是定義, 但是為什麼要這樣定義?
: 如果不這樣定義, 會有什麼問題
ㄜ... 我會說這是Lebesgue積分的一個先天性質
從測度的角度來說 lebesgue積分是「對值域做分割再加總」
舉例來說 f(x) = (-1)^[x]/[x+1] (x>0 [.]為高斯符號)
這種函數Lebesgue不可積但是Riemann瑕積分可積
原因是Riemann瑕積分加總有「順序性」而Lebesgue積分沒有
上面那個函數Riemann瑕積分就等於 1/1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...
但我們知道這種非絕對收斂數列可以經重排收斂到任意其他實數
粗略地說 Riemann瑕積分本身要求我們從0加總到∞
但對Lebesgue積分並不是從第一項開始逐次往後加
-1
只要f (-1/2) 的測度為1 它在積分裡面就貢獻 1x(-1/2)
-1
不管f (-1/2)到底是[1,2)還是[2,3)還是[10000,10001)還是任何其他奇怪的樣子
所以如果f是Lebesgue可積 那1/1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...
這個級數應該要在任意重排下數值不變 等價於絕對收斂
絕對可積函數有很多好處 其中一個就是Fubini定理
如果數列or函數非絕對可加的話 那加總的順序就會影響加總值
比如說
1 0 0 ...
-1/2 1 0 ...
-1/4 -1/2 1 ...
-1/8 -1/4 -1/2 ...
: : :
: : :
: 比如說
: 對任意函數f
: 定義 ∫_E f = sup {∫_E h | h is bdd, measurable, h 在某個有限測度外取值 0 }
: 當 ∫_E f<∞, 則稱 f 在可測集 E 上 Lebesgue 可積分.
: 這樣子會遇到什麼問題??
Put S = { h | h is bdd, measurable and vanishes off some bdd set. }
甚至把measurable改成 h is Riemann integrable 或 h is a step function都可以
但想要用S裡面的元素來定義積分 當f有正有負的時候就會有些麻煩
你可以很自然地加上 -f≦h≦f(*) 這個條件 但取∫_E h的sup就變得很有問題
因為f有正有負 積分值愈大並不表示h愈適合表示f的積分
(*)如果S改成 h is Riemann integrable 或 h is a step function
那這邊就必須跟著改寫成-f≦h≦f a.e.
一個可行的辦法是考慮∫_E |h| 在-f≦h≦f的條件下 ∫_E |h|愈大
h應該就愈適合表示f的積分 所以找一個函數列h_n使得
lim ∫ |h_n | = sup { ∫ |h| | h in S. -f≦h≦f}
n→∞ E E
接下來就用 lim ∫ h_n 來定義 ∫ h.
n→∞ E E
然而 如果f非絕對可積 這個定義就會跟所選的數列有關
比如說 f還是如前 I_n = [n,n+1)
n k 1
h_n = Σ (-1) ── χ
k=0 k+1 I_k
m(k) 為 k 的某一重排
n m(k) 1
g_n = Σ (-1) ── χ
k=0 m(k)+1 I_m(k)
h_n和g_n皆為為滿足條件的函數列 但其積分值的極限不一定相等
另外一個可行的辦法是考慮逐點逼近 找一組S裡面的函數列逐點(**)逼近到f
用他的積分值來定義f的積分值 但同樣地 為了使定義不隨數列而變
我們必須加上額外的條件
lim ∫|h_m-h_n| = 0.
(m,n)→(∞,∞)
這個條件也會要求f是絕對可積函數
(**)如果S改成 h is Riemann integrable 或 h is a step function
那這邊就必須跟著改寫成「幾乎處處逐點逼近到f」
總而言之 絕對可積是Lebesgue積分的一個先天性質 不管用什麼方法定義Lebesgue積分
這個性質引出很多Lebesgue積分的其他性質 當然也造成了某種限制
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◆ From: 125.231.219.112
※ 編輯: ppia 來自: 125.231.219.112 (03/19 23:18)
推 wuxr :好清楚...謝謝你^^ 03/20 00:45
推 math1209 :-) 03/22 16:10
→ math1209 :用量剛的觀點來說, 黎曼暇積分不是一個好的積分. 而 03/22 19:45
→ math1209 :Lebesgue 是一個好的積分. 例如： sinx/x 這個. 03/22 19:45
→ math1209 :用量剛分析會糗掉... 03/22 19:45
→ math1209 :量綱 (非量剛,忘了選字). sorry.. 03/22 19:46
→ math1209 :此處跟上述掛絕對值有很大的關係. 03/22 19:47
推 Lindemann :推ㄧ下^^雖然不是很懂>_< 03/22 20:02