Re: [分析] 台大98碩研高微考古題 證絕對收斂

[doom8199 (～口卡口卡 修～)]

※ 引述《srewq (南瓜)》之銘言：
: 抱佛腳再問一題...@@
:
: http://www.lib.ntu.edu.tw/exam/graduate/98/98047.pdf
:
: 第三題
:
: Let α be a positive constant. Determine whether the intgral
:
:
:                  ∞  sin(x^2)*(1-cos(x^2))
:                 ∫  ─────────── dx
:                  0           x^α
:
: converges absolutely , or converges conditionally, or diverges .
:
: 已經開始慌了....    不知道該怎麼弄....
:
: 請指教  謝謝

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    直接積出來不知道能不能算得證題目想要的  = =ll



      ∞  sin(x^2)*[1-cos(x^2)]
     ∫  ─────────── dx
      0           x^α

      ∞  2sin(x^2) - sin(2x^2)
  =  ∫   ─────────── dx
      0           2x^α

      ∞  2sin(x) - sin(2x)
  =  ∫   ───────── dx
      0     4x^[(α+1)/2]

      ∞                       ∞   t^[(α-1)/2]    -xt
  =  ∫   [2sin(x) - sin(2x)] ∫   ───────  e    dt  dx
      0                        0   4Γ[(α+1)/2]

             1         ∞   (α-1)/2  ∞                       -xt
  =  ──────── ∫   t         ∫   [2sin(x) - sin(2x)]*e    dx  dt
      4Γ[(α+1)/2]    0              0

            1          ∞  2t^[(α-1)/2]    2t^[(α-1)/2]
  =  ──────── ∫   ─────── - ─────── dt
      4Γ[(α+1)/2]    0      t^2 + 1         t^2 + 4

     2 - 2^[(α-1)/2]  ∞  t^[(α-1)/2]
  =  ──────── ∫   ──────  dt
      4Γ[(α+1)/2]    0     t^2 + 1

     2 - 2^[(α-1)/2]  ∞  t^[(α-3)/4]
  =  ──────── ∫   ──────  dt
      8Γ[(α+1)/2]    0      t + 1

     2 - 2^[(α-1)/2]          π
  =  ──────── * ────────
      8Γ[(α+1)/2]     sin[π(α+1)/4]



    所以當   π(α+1)/4 = mπ   for  m屬於N

          →  α = 4m-1

    該積分值會發散

    其餘皆收歛

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 140.113.141.151
推 TrySoHard   :請問一下~第五個等號是怎麼來的?
→ doom8199    :拆項 + i.b.p. , 或是直接套 Laplace Transform 結論
→ doom8199    :不過結論怪怪的 QQ  好像哪裡有問題
推 went27      :wrong
推 srewq       :嗚@@"  有好幾部看不懂...   還是先謝謝了
推 ntust661    :感覺很像 Bessel