Re: [分析] 實分析中的數學符號...

[math1209 (人到無求品自高)]

※ 引述《ericakk (我還記得)》之銘言：
: 小妹是實變的初學者..有幾個簡單的問題..請您們多包涵與指教:
:
: 1. λ 跟 μ 在運算上很類似....
:
:    請問λ 跟 μ 是差異在哪裡呢??
:
: 2. σ-additive 跟 σ-sub-additive 的差異..是不是如下:
:
:    σ-additive時候:μ(∪A_n) = Σμ(A_n)
:
:    σ-sub-additive時候:μ(∪A_n) ≦ Σμ(A_n)
: → ericakk     :應該是你說的..outer measure vs Lebsgue measure     04/02 19:45

1. 不知道你的 λ 跟 μ 是指什麼？
2. 以下是以前整理的資料：

                   [Outer measure 與 measure 的差異]

μ^*: 2^Ω → [0,+∞] with (1) σ-subadditive, (2) monotone, (3) μ^*(ψ)＝0.
μ  : Σ   → [0,+∞] with (1) σ-additive, (2) μ(ψ)＝0.

(定理) 若外測度保有 finite-additive 的性質，則自動成為測度 (Caratheodory).

(測度性質)

(a) 因為定義裡有 (1), 則自動保有 monotone 的性質。
(b) 若 E_k 為可測，且 E_k↗E, 則 μ(E_k)→μ(E).
(c) 若 E_k 為可測，且 E_k↘E with μ( E_(k_0) )＜+∞, 則 μ(E_k)→μ(E).

(外測度) 外測度 [不保有 σ-additive, 以及上述性質 (c)]
         注意到 Lebesgue outer measure 保有 (b).
---------------------------------------------------------------------------
為了方便起見，我們以 Lebesgue outer measure 來描述外測度所沒有的性質。[關於串燒
之說，請翻閱 Measure and Integral by R.L.Wheeden, and A. Zygmund 中所介紹的如何
製造不可測集合].

考慮串燒  o x
          o x
          o x
          . .
          . .

(不保有 σ-additive) there exist disjoint E_1,..,E_k,... such that

                             ∞         ∞
                        μ^*(∪ E_k) ＜ Σ μ^*(E_k).
                            k＝1       k＝1
Proof.

命 E_k 為第 k 列，則 μ^*(E_k) ＞0 for all k, (因每一個 E_k 都不可測).

     ∞                           ∞            ∞
由於 ∪ E_k ＝ [0,1), 我們有 μ^*(∪ E_k)＝1 ＜ Σ μ^*(E_k) ＝∞. □
    k＝1                         k＝1          k＝1

(不保有 (c)) there exist A_1,..,A_k,... such that A_k↘A,

             μ^*(A_k) ＜＋∞ and lim μ^*(A_k) ＞μ^*(A).
                                 k→∞
Proof.
                            ∞
命 E_k 為第 k 列，且 A_k ＝ ∪  E_i. 故 A_k↘ψ, ψ 為空集合。
                           i＝k

顯然  μ^*(E_1) ＝ μ^*(E_k) ≦ μ^*(A_k) ＜＋∞ for each k.

因此  lim μ^*(A_k) ≧ μ^*(E_1) ＞0 ＝ μ^*(ψ). □
      k→∞

NOTE. 串燒這個說法，不僅僅這樣而已。還有一些有趣的數學應用…

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Good taste, bad taste are fine, but you can't have no taste.
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推 tsaihohan   :可是請你說說還有哪些有趣的數學應用嗎@@
推 levinc      :COOL~~
推 peicachu    :先推
→ math1209    :除上述外, 還有 #Ｌ = 2^c (以前有寫). 甚至還可以
→ math1209    :證明 (χ_0)^(χ_0) = χ_1.
※ 編輯: math1209        來自: 114.32.219.116       (05/01 19:07)