推 srewq :感謝你!!!! 02/01 00:16
※ 引述《srewq (南瓜)》之銘言：
: 請教95年台大考古第二題
: http://www.lib.ntu.edu.tw/exam/graduate/95/054.pdf
: 第二題 如下
: Let f be a continuous real-value function on Ｒ such that the
: improper Riemann integral
: ∞
: ∫ ︱f(x)︱dx converges.
: -∞
: ∞
: Define the function g on Ｒ by g(y) =∫ f(x)cos(xy) dx .
: -∞
: (i) Must the function g be continuous ?
: (ii) Can the limit lim g(y) always exist ?
: y->∞
: 第一題我原本是想証連續.. 後來又認為在y=0時應該會不連續
: 但是用了幾個方法都不適合或者沒有頭緒
: 第二題也是不太有頭緒
: 想了兩三天都沒有新的想法
: 只好請大家幫忙 看是否能给有做法 或者是提示?
: 謝謝
第一題不用LDCT也是可以:
|g(y+s)-g(y)|=|∫ 2sin(xs/2)sin(xy+sx/2)f(x) dx |
|R
≦∫ 2|sin(xs/2)||f(x)| dx + ∫2|f(x)| dx = (1) + (2)
|x|<A x >|A|
既然∫|f|dx < ∞，給定ε>0, 就存在夠大的A使得(2)小於ε
而|f|在[-A,A]上黎曼可積，所以有界: |f|在[-A,A]上小於M
因此
lim sup |g(y+s)-g(y)| ≦ lim 4MA|sin(As/2)| + ε = ε
s → 0 s→0
又ε任意，故 lim |g(y+s)-g(y)| = 0
s→0
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